Identifique a superficie que tem a equação paramétrica dada.
r(s, t)=lang<= s, sen 2 t, s^2, s cos 2 trang<=

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização de uma superfície em R^4
r(s,t)=l(x(s,t),y(s,t),z(s,t),w(s,t)r) =l(s,;sin2t,;s^2,;scos2tr)
O objetivo é “identificar” a superfície, isto é, encontrar uma descrição implícita em termos das coordenadas (x,y,z,w), eliminando os parâmetros s e t. Para isso vamos usar as relações dadas pelas componentes.

Passo 2

Da primeira e da terceira componentes temos
x = s, z = s^2
Isto já nos dá imediatamente a primeira equação implícita:
z = x^2

Passo 3

Das segundas e quartas componentes temos
y = sin2t, w = scos2t = xcos2t
Como sin^2(2t)+cos^2(2t)=1, segue
y^2 + l(wxr)^2 = 1,
para xneq0. Multiplicando por x^2 e notando que, se x=0, então s=0 e w=0, a mesma relação vale globalmente:
x^2y^2 + w^2 = x^2

Passo 4

Portanto a superfície é dado pelo sistema de duas equações em
Em outras palavras, é a interseção em com o cilindro quádruplo .

Resposta

A superfície é
l(x,y,z,w)inR^4 mid z = x^2,;x^2y^2 + w^2 = x^2l

Exercícios relacionados