Através do método dos coeficientes a determinar, determine a solução particular yp(t) de
2 y^prime prime+y^prime-3 y=4 t e^-t.

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a EDO
2y'' + y' - 3y = 4t e^-t
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo da forma polinômio em t vezes exponencial. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, a equação homogênea associada
2y'' + y' - 3y = 0
tem equação característica
2r^2 + r - 3 = 0;Longrightarrow;r = 1,;-,tfrac32
Como r=-1 não é raiz, não há ressonância com e^-t. Logo, tentamos um particular da forma
yp(t) = e^-tl(A,t + Br),
com A e B a determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de yp. Seja u(t)=At+B. Então
yp = e^-tu, yp' = e^-tl(u' - ur), yp'' = e^-tl(u'' - 2u' + ur)
Aqui u'=A e u''=0, logo
yp' = e^-tl(A - (At+B)r) = e^-tl(-A,t + (A - B)r),
yp'' = e^-tl(0 - 2A + (At+B)r) = e^-tl(A,t + (B - 2A)r)

Passo 4

Substituindo na EDO não-homogênea:
2yp'' + yp' - 3yp =2e^-tl(A,t + (B-2A)r) + e^-tl(-A,t + (A-B)r) -3e^-tl(A,t + Br)
Agrupando fatores de e^-t:
2A,t +2B-4A -A,t +A -B -3A,t -3B = -2A,t ;-;(3A+2B)
Isso deve ser igual a 4t e^-t, ou seja
-2A,t ;-;(3A+2B) = 4t + 0

Passo 5

Comparando coeficientes de t e termo constante:
-2A = 4 Longrightarrow A=-2,
-(3A+2B)=0 Longrightarrow 3A+2B=0 ;Longrightarrow;3(-2)+2B=0;Longrightarrow;B=3
Portanto
yp(t) = e^-tl(-2t + 3r)

Resposta

A solução particular é
yp(t) = (3 - 2t),e^-t

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