Através do método dos coeficientes a determinar, determine a solução particular yp(t) de
3 y^prime prime-2 y^prime+2 y=t+1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes
3y'' - 2y' + 2y = t + 1
e pede uma solução particular yp(t). Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, isto é, supor uma solução particular também polinomial de grau 1.

Passo 2

Antes de escolhermos o ansatz (palpite) para yp, verificamos a equação característica da parte homogênea
3r^2 - 2r + 2 = 0
As raízes são complexas e não coincidem com r=0, logo não há ressonância com um polinômio de grau 1 e podemos tentar
yp(t) = At + B

Passo 3

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(t) = A, yp''(t) = 0

Passo 4

Substituímos na equação diferencial:
3yp'' - 2yp' + 2yp = 3cdot 0 ;-;2A ;+;2l(A t + Br) = 2A,t + l(2B - 2Ar)
Esse resultado deve coincidir com t + 1.

Passo 5

Igualando coeficientes de
Da primeira equação vem (A = \tfrac12]. Substituindo na segunda:

Resposta

yp(t) = 12,t + 1

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