Através do método dos multiplicadores de Lagrange, e fazendo os testes necessários, encontre os pontos extremos absolutos restritos dos gráficos dentro das respectivas restrições. Atenção para levar em conta os valores de
e
que seriam descartados quando forem isolar o
. Observação: como estamos dentro de regiões que acabam sendo fechadas, então não será necessário fazer teste da derivada segunda. Pois, pelo TVE, haverá certamente um mínimo e máximo absolutos. Basta verificar, aplicados na função
, quais dos pontos encontrados assumem menor e maior valor.
, restrito pela curva
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos de
sujeitos à restrição
. O método a usar é o dos multiplicadores de Lagrange: montamos a função de Lagrange, geramos o sistema de equações e, como a curva é fechada e limitada, os extremos encontrados serão absolutos.
Passo 2
Definimos a função de Lagrange
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 4
Das duas primeiras equações vem
e da última temos
. Como
, segue
Portanto os pontos candidatos são
e
.
Passo 5
Avaliando
em cada ponto:
Comparando,
é o maior valor e
o menor.
Resposta
Máximo absoluto em
com
.
Mínimo absoluto em com
.
Mínimo absoluto em