Através do método dos multiplicadores de Lagrange, e fazendo os testes necessários, encontre os pontos extremos absolutos restritos dos gráficos dentro das respectivas restrições. Atenção para levar em conta os valores de x, y e z que seriam descartados quando forem isolar o \lambda. Observação: como estamos dentro de regiões que acabam sendo fechadas, então não será necessário fazer teste da derivada segunda. Pois, pelo TVE, haverá certamente um mínimo e máximo absolutos. Basta verificar, aplicados na função f, quais dos pontos encontrados assumem menor e maior valor.
f(x, y)=x+y, restrito pela curva x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de f(x,y)=x+y sujeitos à restrição x^{2}+y^{2}=1. O método a usar é o dos multiplicadores de Lagrange: montamos a função de Lagrange, geramos o sistema de equações e, como a curva é fechada e limitada, os extremos encontrados serão absolutos.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=x+y-\lambda\bigl(x^{2}+y^{2}-1\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=1-2\lambda x=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=1-2\lambda y=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(x^{2}+y^{2}-1)=0.

Passo 4

Das duas primeiras equações vem
2\lambda x=1 \quad\text{e}\quad 2\lambda y=1 \quad\Longrightarrow\quad x=y,
e da última temos x^{2}+y^{2}=1. Como x=y, segue
2x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto os pontos candidatos são
\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr) e \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr).

Passo 5

Avaliando f em cada ponto:
f\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr) =\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}=\sqrt2,
f\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr) =-\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}=-\sqrt2.
Comparando, \sqrt2 é o maior valor e -\sqrt2 o menor.

Resposta

Máximo absoluto em \bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr) com f=\sqrt2.
Mínimo absoluto em \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr) com f=-\sqrt2.

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