Nas regiões fechadas indicadas, diga quais são os pontos máximo e mínimo da função. Para isso, além de verificar o valor dos pontos críticos na função, será necessário também verificar valores nas bordas da região.
, restrito na região
entre as retas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo de
na região fechada
delimitada pelas retas
O conteúdo é otimização de função de duas variáveis em conjunto convexo fechado. Vamos precisar verificar pontos críticos internos e valores de
nas bordas (e, em particular, nos vértices).
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Como
, não há ponto crítico interno em
. Portanto, os extremos ocorrem na fronteira de
.
Passo 3
Identificamos os vértices da região
resolvendo pares de equações das retas:
- Interseção de
com :
logo
. Vértice
.
- Interseção de
com :
Vértice
.
- Interseção de
com :
Vértice
.
Passo 4
Avaliamos
em cada vértice:
Passo 5
Comparando os valores:
Resposta
Ponto de máximo:
com
.
Ponto de mínimo: com
.
Ponto de mínimo: