Nas regiões fechadas indicadas, diga quais são os pontos máximo e mínimo da função. Para isso, além de verificar o valor dos pontos críticos na função, será necessário também verificar valores nas bordas da região.
f(x, y)=2 x-5 y-3, restrito na região R entre as retas y=2 x+4, \quad y=-\frac{x}{2}-1 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo de
f(x,y) = 2x - 5y - 3
na região fechada R delimitada pelas retas
y = 2x + 4,\quad y = -\tfrac{x}{2} - 1,\quad x = 2.
O conteúdo é otimização de função de duas variáveis em conjunto convexo fechado. Vamos precisar verificar pontos críticos internos e valores de f nas bordas (e, em particular, nos vértices).

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
\nabla f(x,y) = \bigl( \tfrac{\partial f}{\partial x},\,\tfrac{\partial f}{\partial y}\bigr) = (2,\,-5).
Como \nabla f\neq(0,0), não há ponto crítico interno em R. Portanto, os extremos ocorrem na fronteira de R.

Passo 3

Identificamos os vértices da região R resolvendo pares de equações das retas:
  1. Interseção de y=2x+4 com y=-\tfrac{x}{2}-1:
2x+4 = -\tfrac{x}{2}-1 \;\Longrightarrow\; 4x+8 = -x-2 \;\Longrightarrow\; 5x = -10 \;\Longrightarrow\; x=-2,
logo y = 2(-2)+4 = 0. Vértice A=(-2,0).
  1. Interseção de x=2 com y=2x+4:
x=2,\quad y = 2(2)+4 = 8.
Vértice B=(2,8).
  1. Interseção de x=2 com y=-\tfrac{x}{2}-1:
x=2,\quad y = -\tfrac{2}{2}-1 = -1 -1 = -2.
Vértice C=(2,-2).

Passo 4

Avaliamos f em cada vértice:
f(A)=f(-2,0)=2(-2)-5\cdot0-3 = -4-3 = -7,
f(B)=f(2,8)=2\cdot2 -5\cdot8 -3 = 4 -40 -3 = -39,
f\text{(C)}=f(2,-2)=2\cdot2 -5(-2) -3 = 4 +10 -3 = 11.

Passo 5

Comparando os valores:
\max f = 11 \text{ em } C=(2,-2), \qquad \min f = -39 \text{ em } B=(2,8).

Resposta

Ponto de máximo: (2,-2) com f(2,-2)=11.
Ponto de mínimo: (2,8) com f(2,8)=-39.

Exercícios relacionados