Nas regiões fechadas indicadas, diga quais são os pontos máximo e mínimo da função. Para isso, além de verificar o valor dos pontos críticos na função, será necessário também verificar valores nas bordas da região.
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}, restrito na região R do círculo delimitado pela circunferência x^{2}+y^{2}=16.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar e minimizar a função
f(x,y)=\sqrt{x^2+(y-2)^2}
numa região fechada R dada pelo disco
x^2+y^2\le16.
O método geral é: (i) achar pontos críticos no interior de R pela condição \nabla f=0, e (ii) analisar o valor de f na fronteira x^2+y^2=16.

Passo 2

No interior de R temos
\nabla f(x,y) =\Bigl(\frac{x}{\sqrt{x^2+(y-2)^2}}\,,\,\frac{y-2}{\sqrt{x^2+(y-2)^2}}\Bigr).
Para zerar esse vetor é preciso
x=0 \quad\text{e}\quad y-2=0 \;\Longrightarrow\; (x,y)=(0,2).
Verificamos que (0,2) satisfaz 0^2+2^2=4\le16, portanto é interior, e
f(0,2)=\sqrt{0^2+(2-2)^2}=0.

Passo 3

Na fronteira x^2+y^2=16 parametrize por
x=4\cos t, \quad y=4\sin t, \quad t\in[0,2\pi].
Então
f^2 = x^2+(y-2)^2 =16\cos^2t+\bigl(4\sin t-2\bigr)^2 =16\bigl(\cos^2t+\sin^2t\bigr)-16\sin t+4 =20-16\sin t.
Logo
f(t)=\sqrt{20-16\sin t}.
Esse valor é mínimo quando \sin t é máximo ( \sin t=1), e máximo quando \sin t é mínimo ( \sin t=-1).
Para \sin t=1 temos t=\tfrac\pi2, ponto
(x,y)=(0,4), \quad f(0,4)=\sqrt{20-16\cdot1}=\sqrt{4}=2.
Para \sin t=-1 temos t=\tfrac{3\pi}{2}, ponto
(x,y)=(0,-4), \quad f(0,-4)=\sqrt{20-16\cdot(-1)}=\sqrt{36}=6.

Passo 4

Comparando os valores: interior deu f(0,2)=0, fronteira deu 2 e 6. O menor valor é 0 em (0,2) e o maior é 6 em (0,-4).

Resposta

Mínimo global: f_{\min}=0 em (0,2).
Máximo global: f_{\max}=6 em (0,-4).

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