Através do método dos multiplicadores de Lagrange, e fazendo os testes necessários, encontre os pontos extremos absolutos restritos dos gráficos dentro das respectivas restrições. Atenção para levar em conta os valores de x, y e z que seriam descartados quando forem isolar o \lambda. Observação: como estamos dentro de regiões que acabam sendo fechadas, então não será necessário fazer teste da derivada segunda. Pois, pelo TVE, haverá certamente um mínimo e máximo absolutos. Basta verificar, aplicados na função f, quais dos pontos encontrados assumem menor e maior valor.
f(x, y, z)=x y z, \quad restrito pela superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar os extremos absolutos de
f(x,y,z)=x\,y\,z
sujeito à restrição
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange: encontraremos pontos críticos resolvendo \nabla f=\lambda\nabla g, onde g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1.

Passo 2

Calculamos os gradientes:
\nabla f = \bigl(yz,\;xz,\;xy\bigr),
\nabla g = \bigl(2x,\;2y,\;2z\bigr).
O sistema de Lagrange é
yz = 2\lambda x
xz = 2\lambda y
xy = 2\lambda z
juntamente com a restrição
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.

Passo 3

Caso x,y,z\neq0: das duas primeiras equações
\frac{yz}{2x}=\frac{xz}{2y}
segue y^{2}=x^{2}. De modo análogo, comparando a primeira e a terceira, obtemos z^{2}=x^{2}. Logo \lvert x\rvert=\lvert y\rvert=\lvert z\rvert. Pela restrição
3x^{2}=1\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt3},\;y=\pm\frac{1}{\sqrt3},\;z=\pm\frac{1}{\sqrt3}.
Isso gera 8 pontos do tipo
\bigl(\pm\frac1{\sqrt3},\pm\frac1{\sqrt3},\pm\frac1{\sqrt3}\bigr).

Passo 4

Caso pelo menos uma coordenada seja zero, digamos x=0: as equações de Lagrange implicam yz=0 e 2\lambda y=0, 2\lambda z=0, o que leva a y=0 ou z=0. Assim surgem apenas os pontos em eixos coordenados que satisfazem x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, a saber
(\pm1,0,0), (0,\pm1,0), (0,0,\pm1).

Passo 5

Avaliação de f nos candidatos:
  • Em \bigl(\pm\frac1{\sqrt3},\pm\frac1{\sqrt3},\pm\frac1{\sqrt3}\bigr) temos
f=\pm\frac{1}{\sqrt3}\,\frac{1}{\sqrt3}\,\frac{1}{\sqrt3} =\pm\frac{1}{3\sqrt3}.
  • Nos pontos (\pm1,0,0), (0,\pm1,0), (0,0,\pm1) vale f=0.
    Como \frac{1}{3\sqrt3}\approx0,192, os valores \pm\frac{1}{3\sqrt3} são extremos absolutos e 0 é intermediário.

Resposta

Máximos absolutos:
\bigl(\tfrac{1}{\sqrt3},\tfrac{1}{\sqrt3},\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr),\; \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt3},-\tfrac{1}{\sqrt3},\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr),\; \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt3},\tfrac{1}{\sqrt3},-\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr),\; \bigl(\tfrac{1}{\sqrt3},-\tfrac{1}{\sqrt3},-\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr)
com f=+\tfrac{1}{3\sqrt3}.
Mínimos absolutos:
\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt3},-\tfrac{1}{\sqrt3},-\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr),\; \bigl(\tfrac{1}{\sqrt3},\tfrac{1}{\sqrt3},-\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr),\; \bigl(\tfrac{1}{\sqrt3},-\tfrac{1}{\sqrt3},\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr),\; \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt3},\tfrac{1}{\sqrt3},\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr)
com f=-\tfrac{1}{3\sqrt3}.

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