Através do método dos multiplicadores de Lagrange, e fazendo os testes necessários, encontre os pontos extremos absolutos restritos dos gráficos dentro das respectivas restrições. Atenção para levar em conta os valores de
e
que seriam descartados quando forem isolar o
. Observação: como estamos dentro de regiões que acabam sendo fechadas, então não será necessário fazer teste da derivada segunda. Pois, pelo TVE, haverá certamente um mínimo e máximo absolutos. Basta verificar, aplicados na função
, quais dos pontos encontrados assumem menor e maior valor.
restrito pela superfície
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos encontrar os extremos absolutos de
sujeito à restrição
Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange: encontraremos pontos críticos resolvendo
, onde
.
Passo 2
Calculamos os gradientes:
O sistema de Lagrange é
juntamente com a restrição
Passo 3
Caso
: das duas primeiras equações
segue
. De modo análogo, comparando a primeira e a terceira, obtemos
. Logo
. Pela restrição
Isso gera 8 pontos do tipo
.
Passo 4
Caso pelo menos uma coordenada seja zero, digamos
: as equações de Lagrange implicam
e
,
, o que leva a
ou
. Assim surgem apenas os pontos em eixos coordenados que satisfazem
, a saber
,
,
.
Passo 5
Avaliação de
nos candidatos:
- Em
temos
- Nos pontos
, , vale .
Como, os valores são extremos absolutos e é intermediário.
Resposta
Máximos absolutos:
com
.
Mínimos absolutos:
Mínimos absolutos:
com
.