A fim de mensurar a quantidade confeccionada de determinado produto a partir dos seus gastos, é proposto um modelo de produção conhecido como modelo Cobb-Douglas, onde a quantidade
de unidades do produto seria dada por
Aqui,
é uma constante de proporcionalidade,
e
também são constantes, de modo que
e
. Le
são as variáveis, sendo
as unidades com que se gasta em trabalho humano, e
as unidades com que se gasta em equipamento e estrutura. É de interesse especial quando
. Consideremos o modelo de produção em que, para certo produto,
Se por unidade de trabalho humano se gasta
50,00
\mathrm{R} $100,00
\mathrm{R} $ 200.000,00
L
K
K
L
P
P$ nestas condições (aproximar com a calculadora)?
Passo 1
O enunciado nos dá o modelo Cobb–Douglas
e a restrição orçamentária em reais
Queremos escolher
e
que maximizem
. Para isso, usaremos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos o lagrangiano
As condições de primeira ordem são
Passo 3
Da igualdade dos dois primeiros gradientes temos
logo
Passo 4
Substituindo
na restrição orçamentária
e então
Passo 5
O valor máximo de
é