A fim de mensurar a quantidade confeccionada de determinado produto a partir dos seus gastos, é proposto um modelo de produção conhecido como modelo Cobb-Douglas, onde a quantidade P de unidades do produto seria dada por
P=c L^{\alpha} K^{\beta}
Aqui, c é uma constante de proporcionalidade, \alpha e \beta também são constantes, de modo que 0<\alpha<1 e 0<\beta<1. Le K são as variáveis, sendo L as unidades com que se gasta em trabalho humano, e K as unidades com que se gasta em equipamento e estrutura. É de interesse especial quando \alpha+\beta=1. Consideremos o modelo de produção em que, para certo produto,
P=1000 L^{0,6} K^{0,4}
Se por unidade de trabalho humano se gasta \mathrm{R} \ 50,00 , e por unidade com equipamento se gasta\mathrm{R} $100,00 , se o orçamento total para a produção será deççãá\mathrm{R} $ 200.000,00 , então quais deverão ser as quantidadesããL eK para se otimizar a produção? (Isto é, com queçãéK eL , nesta restrição de orçamento, se atinge o máximo deçãçáP ) E de quanto é este valor máximo deéáP$ nestas condições (aproximar com a calculadora)?

Passo 1

O enunciado nos dá o modelo Cobb–Douglas
P = 1000\,L^{0,6}\,K^{0,4}
e a restrição orçamentária em reais
50\,L + 100\,K = 200000.
Queremos escolher L e K que maximizem P. Para isso, usaremos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos o lagrangiano
\mathcal{L}(L,K,\lambda) =1000\,L^{0,6}K^{0,4} + \lambda\bigl(200000 - 50\,L - 100\,K\bigr).
As condições de primeira ordem são
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial L} =1000\cdot0,6\,L^{-0,4}K^{0,4} -50\,\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial K} =1000\cdot0,4\,L^{0,6}K^{-0,6} -100\,\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} =200000 - 50\,L - 100\,K=0.

Passo 3

Da igualdade dos dois primeiros gradientes temos
\frac{1000\cdot0,6\,L^{-0,4}K^{0,4}}{50} \;=\; \frac{1000\cdot0,4\,L^{0,6}K^{-0,6}}{100} \quad\Longrightarrow\quad 3 = \frac{L}{K},
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L = 3\,K.

Passo 4

Substituindo L=3K na restrição orçamentária
50\,(3K) + 100\,K = 200000 \quad\Longrightarrow\quad 250\,K = 200000 \quad\Longrightarrow\quad K = 800,
e então
L = 3\cdot 800 = 2400.

Passo 5

O valor máximo de P é
P_{\max} =1000\,(2400)^{0,6}\,(800)^{0,4} \approx1000\cdot106{,}73\cdot14{,}50 \approx1{,}55\times10^{6}.

Resposta

L = 2400, K = 800 e P_{\max}\approx1{,}55\times10^{6}.

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