Através do Teste de comparação, determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{15 \operatorname{sen}^{2}(k)}{k!}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{15\operatorname{sen}^{2}(k)}{k!}
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente usando o Teste de comparação. Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é \dfrac{15\operatorname{sen}^{2}(k)}{k!}.
  • É preciso decidir convergência ou divergência da série infinita.
  • Não há outras informações numéricas (apenas a expressão acima).

Passo 2

Enunciado do Teste de comparação (forma direta), explicado de forma simples:
Sejam (a_k) e (b_k) sequências com a_k\ge0 e b_k\ge0 para todo k.
Se existir M tal que 0\le a_k\le b_k para todo k\ge M e a série \sum b_k for convergente, então a série \sum a_k também é convergente.
Aqui cada variável significa:
  • a_k é o termo da série que queremos testar;
  • b_k é o termo de uma série ``comparadora’’ cuja convergência conhecemos;
  • a condição a_k\le b_k garante que os termos de a_k não são maiores que os de b_k; se \sum b_k soma um valor finito, então \sum a_k também não pode divergir para infinito.

Passo 3

Observar o fator trigonométrico. Para todo inteiro k vale
0 \le \operatorname{sen}^{2}(k)\le 1,
porque o quadrado de qualquer seno está entre 0 e 1. Portanto, para todo k\ge1,
0 \le \frac{15\operatorname{sen}^{2}(k)}{k!}\le \frac{15}{k!}.
Então podemos tomar a_k=\dfrac{15\operatorname{sen}^{2}(k)}{k!} e b_k=\dfrac{15}{k!} na comparação.

Passo 4

Mostrar que a série comparadora \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{15}{k!} converge. Note que é um múltiplo constante de \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{15}{k!}=15\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}.
A série \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{k!} é a série da exponencial e converge (o somatório é e). Para justificar sem apelar apenas ao valor e, aplica-se o Teste da razão à série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}: seja c_k=\dfrac{1}{k!}. Então
\frac{c_{k+1}}{c_k}=\frac{1/(k+1)!}{1/k!}=\frac{1}{k+1}\xrightarrow[k\to\infty]{}0.
Como o limite da razão é 0<1, a série \sum c_k converge. Logo \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k!} converge, e multiplicando por 15 obtém-se que \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{15}{k!} também converge.

Passo 5

Aplicando o Teste de comparação com 0\le a_k\le b_k (ver Passo 3) e sabendo que \sum b_k converge (ver Passo 4), concluímos que a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{15\operatorname{sen}^{2}(k)}{k!}
converge. Como os termos são não negativos, trata-se também de convergência absoluta (a questão de sinais não aparece aqui porque \operatorname{sen}^{2}(k)\ge0).

Resposta

A série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{15\operatorname{sen}^{2}(k)}{k!} é convergente (convergência por comparação com \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{15}{k!}).

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