Para cada série p, identifique p e determine se a série converge.
\sum_{k=0}^{\infty} k^{-1}\\,

Passo 1

O enunciado dá a série \sum_{k=0}^{\infty} k^{-1} e pede duas coisas: (i) identificar o valor de p quando a série é do tipo p-série; (ii) dizer se a série converge ou diverge.
Observação importante: o termo com k=0 é \,0^{-1}\,, que é indefinido. A convenção usual é que a série p-série começa em k=1. Vou, portanto, interpretar a série correta como \sum_{k=1}^{\infty} k^{-1}. Não preciso perguntar nada — essa é a interpretação padrão.

Passo 2

Definição e identificação de p. Uma p-série é uma série da forma
\sum_{k=1}^{\infty} k^{-p},
onde p é um número real positivo (ou, em geral, real). No nosso caso o termo geral é k^{-1}, então o valor de p é
p=1.

Passo 3

Enunciado do critério de convergência para p-séries (resultado clássico). Para a série
\sum_{k=1}^{\infty} k^{-p},
vale o seguinte teorema (que vamos justificar rapidamente): a série converge se, e somente se, p>1; se p\le 1 então a série diverge. Vou justificar esse critério usando o Teste da Integral (um teste simples e muito útil).

Passo 4

Apresentando e aplicando o Teste da Integral. O Teste da Integral diz: se f(x) é contínua, positiva e monotonicamente decrescente para x\ge1, então a série \sum_{k=1}^{\infty} f(k) e a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx convergem ou divergem juntas. Tomamos
f(x)=x^{-p}.
Para x\ge1 e p>0 essa função é contínua, positiva e decrescente, então podemos aplicar o teste. Calculamos a integral
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx.
Se p\neq 1, a primitiva de x^{-p} é \dfrac{x^{1-p}}{1-p}. Então
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \lim_{b\to\infty} \frac{b^{1-p}-1}{1-p}.
  • Se 1-p<0 (isto é, se p>1), então b^{1-p}\to 0 quando b\to\infty, logo a integral é finita e a integral converge. Pelo Teste da Integral, a série \sum_{k=1}^\infty k^{-p} converge.
  • Se 1-p\ge 0 (isto é, se p\le 1), então b^{1-p} não tende a 0 (para p=1 a primitiva usada não vale; para p<1 o termo explode), e a integral diverge. Pelo Teste da Integral, a série diverge.
No caso particular p=1 a integral é
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx = \lim_{b\to\infty} \ln b = +\infty,
portanto diverge. Isso confirma o critério: converge somente para p>1.

Passo 5

Aplicando ao nosso problema: como identificamos que p=1, estamos na situação p\le1. Pelo critério acima (ou diretamente porque \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x}\,dx diverge), conclui-se que a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}
não converge — dizemos que a série diverge. Uma prova alternativa e bem conhecida (sem cálculo) é a prova por agrupamento: agrupe os termos por blocos com números de termos em potências de 2:
\left(1\right) + \left(\tfrac12\right) + \left(\tfrac13+\tfrac14\right) + \left(\tfrac15+\tfrac16+\tfrac17+\tfrac18\right) + \cdots.
Cada bloco a partir do terceiro tem soma maior ou igual a \tfrac12. Assim as somas parciais S_{2^m} satisfazem
S_{2^m}\ge 1 + \frac12 + \frac12 + \cdots + \frac12 \quad(\text{com }m-1\text{ termos } \tfrac12),
ou seja S_{2^m}\ge 1+\tfrac{m}{2}, que tende a +\infty quando m\to\infty. Logo a série diverge. Essa prova dá também intuição: as somas parciais crescem sem limite, mesmo que lentamente (como \ln n).

Resposta

p=1
A série diverge.

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