Para cada série
, identifique
e determine se a série converge.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede duas coisas: (i) identificar o valor de
quando a série é do tipo
-série; (ii) dizer se a série converge ou diverge.
Observação importante: o termo com é
, que é indefinido. A convenção usual é que a série
-série começa em
. Vou, portanto, interpretar a série correta como
. Não preciso perguntar nada — essa é a interpretação padrão.
Observação importante: o termo com
Passo 2
Definição e identificação de
. Uma
-série é uma série da forma
onde
é um número real positivo (ou, em geral, real). No nosso caso o termo geral é
, então o valor de
é
Passo 3
Enunciado do critério de convergência para
-séries (resultado clássico). Para a série
vale o seguinte teorema (que vamos justificar rapidamente): a série converge se, e somente se,
; se
então a série diverge. Vou justificar esse critério usando o Teste da Integral (um teste simples e muito útil).
Passo 4
Apresentando e aplicando o Teste da Integral. O Teste da Integral diz: se
é contínua, positiva e monotonicamente decrescente para
, então a série
e a integral imprópria
convergem ou divergem juntas. Tomamos
Para
e
essa função é contínua, positiva e decrescente, então podemos aplicar o teste. Calculamos a integral
Se
, a primitiva de
é
. Então
- Se
(isto é, se ), então quando , logo a integral é finita e a integral converge. Pelo Teste da Integral, a série converge. - Se
(isto é, se ), então não tende a (para a primitiva usada não vale; para o termo explode), e a integral diverge. Pelo Teste da Integral, a série diverge.
No caso particular
a integral é
portanto diverge. Isso confirma o critério: converge somente para
.
Passo 5
Aplicando ao nosso problema: como identificamos que
, estamos na situação
. Pelo critério acima (ou diretamente porque
diverge), conclui-se que a série
não converge — dizemos que a série diverge. Uma prova alternativa e bem conhecida (sem cálculo) é a prova por agrupamento: agrupe os termos por blocos com números de termos em potências de
:
Cada bloco a partir do terceiro tem soma maior ou igual a
. Assim as somas parciais
satisfazem
ou seja
, que tende a
quando
. Logo a série diverge. Essa prova dá também intuição: as somas parciais crescem sem limite, mesmo que lentamente (como
).
Resposta
A série diverge.