Através do teste
  1. f(a) existe?
lim x a^+ f(x)=lim x a^- f(x)=lim x a f(x)
existe?
3. lim x a f(x)=f(a) ?
Mostre se as funções abaixo são contínuas.
a)
f(x)= |x^2-1|, & -1 <= x <= 2 x-1, & 24
Para x=2.
b) f(x)=|x|x, em x=0.
c) y=x^2-4x-2, em x=2.
d) y=x+2x^2+4, em R.
e) y=x^2-9x-3, em x=1.

Passo 1

O teste de continuidade num ponto a que vamos usar é: 1) f(a) existe; 2) limxto a^-f(x) e limxto a^+f(x) existem e são iguais (ou seja limxto af(x) existe); 3) limxto af(x)=f(a).

Passo 2

Para o item (a), em x=2:
  1. Como 2 está no pedaço -1<= x<=2,
    f(2)=|2^2-1|=|4-1|=3, logo f(2) existe.
  2. Limite pela esquerda:
    limxto2^-f(x)=limxto2^-|x^2-1|=|4-1|=3.
    Limite pela direita (usa-se 2 onde f(x)=x-1):
    limxto2^+f(x)=limxto2^+(x-1)=1.
    Como 3neq1, limxto2f(x) não existe.
  3. Já falhou a condição 2, portanto f é descontinua em x=2.

Passo 3

Para o item (b), em x=0:
  1. A função f(x)=tfrac|x|x não está definida em x=0, logo f(0) não existe.
    Falha a condição 1, então f é descontinua em x=0.

Passo 4

Para o item ©, em x=2:
  1. A função f(x)=tfracx^2-4x-2 não está definida em x=2 (denominador zero), então f(2) não existe.
    Falha a condição 1, portanto f é descontinua em x=2, mesmo que o limite exista.

Passo 5

Para o item (d), em R:
A função f(x)=tfracx+2x^2+4 é quociente de polinômios cujo denominador x^2+4 nunca zera. Assim, f(x) está definida para todo xin R e é contínua em R (polinômios são contínuos e o quociente preserva continuidade quando o denominador é diferente de zero).

Passo 6

Para o item (e), em x=1:
  1. f(1)=tfrac1^2-91-3=tfrac-8-2=4, existe.
  2. limxto1f(x)=limxto1tfracx^2-9x-3=limxto1(x+3)=4, pois para xneq3 simplifica-se.
  3. Como limxto1f(x)=4=f(1), f é contínua em x=1.

Resposta

(a) descontinua em x=2; (b) descontinua em x=0; © descontinua em x=2; (d) contínua em R; (e) contínua em x=1.

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