Encontre o Domínio a Imagem e faça o gráfico de cada funções abaixo
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos o domínio e a imagem da função f(x)=3x^4 e, por fim, fazermos o gráfico. O assunto envolve análise de funções polinomiais de grau par e aplicação de conceitos básicos de domínio, imagem e esboço de gráfico.
Passo 2
Para achar o domínio de f(x)=3x^4, lembramos que polinômios estão definidos para todo x real. Não há divisão por zero nem raiz de expoente par em denominador. Logo, o domínio é o conjunto de todos os números reais, isto é,
Passo 3
Para determinar a imagem, observamos que x^4 é sempre não negativo, pois elevar ao quarto poder anula sinal. Assim, x^4\ge0 para todo x real e multiplicando por 3 mantém-se não negativo. O valor mínimo ocorre em x=0, onde f(0)=0. Não há valor máximo, pois f(x) cresce sem limite quando |x| aumenta. Logo, a imagem é
Passo 4
Para esboçar o gráfico, notamos que f é função par (f(-x)=f(x)) e tem crescimento acentuado para |x| maiores. O gráfico apresenta um único mínimo em (0,0) e cresce rapidamente para valores positivos ao afastar-se da origem. Assim, traçamos uma curva suave que se abre para cima, tocando a origem e subindo simetricamente em ambos os lados.
Resposta
Domínio: (-∞, ∞)
Imagem: [0, ∞)
Gráfico: curva em U estreita e simétrica em torno do eixo y, com mínimo em (0,0) e crescimento rápido para |x| maiores.
Imagem: [0, ∞)
Gráfico: curva em U estreita e simétrica em torno do eixo y, com mínimo em (0,0) e crescimento rápido para |x| maiores.