Usando a fórmula 11-x=sumn=0^infty x^n, válida para |x|<1, obtenha uma série de potências de x para representar cada uma das funções abaixo. Em cada caso, especique o conjunto de valores de x onde a representação é válida.
11+x^2

Passo 1

O exercício pede para expandir a função f(x)=11+x^2 em série de potências de x usando a fórmula de série geométrica 11-u=sumn=0^infty u^n, válida para |u|<1.

Passo 2

Reconhecemos que podemos reescrever f(x) fazendo u=-x^2. Assim, temos
11+x^2=11-(-x^2)

Passo 3

Aplicando a fórmula da série geométrica para u=-x^2, obtemos
11-(-x^2)=sumn=0^infty(-x^2)^n=sumn=0^infty(-1)^n x^2n

Passo 4

Para garantir convergência da série, exigimos |u|<1, ou seja |-x^2|<1. Isso equivale a |x|^2<1, portanto a representação vale para |x|<1.

Resposta

11+x^2=sumn=0^infty(-1)^n x^2n, |x|<1.

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