Calcule o limite de

Passo 1

A questão pede para calcular o limite de limxto1(3-x^3)^4 - 16x^3 - 1. Esse é um problema de limites envolvendo indeterminação 0/0, e vamos usar fatoração de expressões algébricas para simplificar antes de avaliar.

Passo 2

Substituindo x=1 no numerador temos (3-1^3)^4 - 16 = 2^4 - 16 = 0 e no denominador 1^3 - 1 = 0. Como obtemos forma indeterminada 0/0, escolhemos fatoração em vez de l’Hôpital.

Passo 3

Definimos A = 3 - x^3. Então o numerador (3 - x^3)^4 - 16 vira A^4 - 16 = A^4 - 2^4. Aplicando diferença de quadrados duas vezes:
A^4 - 2^4 = (A^2 - 2^2)(A^2 + 2^2) = (A^2 - 4)(A^2 + 4),
e depois
A^2 - 4 = (A - 2)(A + 2)
Substituindo A = 3 - x^3 obtemos
A - 2 = 1 - x^3, A + 2 = 5 - x^3

Passo 4

Com isso o numerador fica
(1 - x^3)(5 - x^3)l((3 - x^3)^2 + 4r)
Como o denominador é x^3 - 1, note que
x^3 - 1 = -(1 - x^3)
Portanto a fração se simplifica assim:
(1 - x^3)(5 - x^3)l((3 - x^3)^2 + 4r)x^3 - 1 = (1 - x^3)(5 - x^3)l((3 - x^3)^2 + 4r)-(1 - x^3) = -,(5 - x^3)l((3 - x^3)^2 + 4r)

Passo 5

Agora avaliamos em x = 1. Temos
5 - 1^3 = 4, (3 - 1^3)^2 + 4 = 2^2 + 4 = 8
Logo o limite é
-,4 times 8 = -32

Resposta

-32

Exercícios relacionados