Atualmente,
de todos os e-mails são spam. Um filtro de spam detecta corretamente
de todos os e-mails que são spam. Entretanto, o filtro também marca incorretamente
dos emails que não são spam como spam. Caso um email seja detectado como spam, qual a probabilidade que seja realmente spam?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo.
-
Informações fornecidas:
- Atualmente,
de todos os e-mails são spam. - O filtro detecta corretamente
dos e-mails que são spam. - O filtro marca incorretamente
dos e-mails que não são spam como spam.
- Atualmente,
-
Pergunta:
- Caso um email seja detectado como spam, qual a probabilidade que ele seja realmente spam?
Passo 2
Definimos eventos para organizar as ideias (isso ajuda muito na prova):
- Seja
o evento “o email é spam”. - Seja
o evento “o filtro detecta o email como spam” (ou seja, é marcado como spam).
Agora escrevemos as probabilidades dadas em forma decimal (conversão de porcentagem para probabilidade):
-
(porque ). -
(detector acerta dos spams). -
(marcação errada de dos não-spam; aqui é “não spam”).
O que queremos calcular é
: a probabilidade de ser spam dado que o filtro marcou como spam.
Passo 3
A ferramenta que usamos é o Teorema de Bayes. Vou explicar devagar:
- A definição de probabilidade condicional
é a probabilidade de ocorrer quando já sabemos que ocorreu. - O Teorema de Bayes relaciona
com quantidades que conhecemos:
Aqui:
-
é a probabilidade do detector marcar como spam quando é spam (já dada). -
é a prevalência de spam (já dada). -
é a probabilidade total de um email ser marcado como spam — precisamos calcular isso usando a lei da probabilidade total.
Passo 4
Aplicamos a lei da probabilidade total para
:
Explicando: toda vez que um email é marcado como spam ele ou é spam (caso
) ou não é spam (caso
). Somamos as contribuições de ambos os casos.
Passo 5
Calculamos cada termo numérico:
- Primeiro,
.
Fazendo a conta:
Passo 6
- Depois,
. Note que .
Então:
Passo 7
Somamos para obter
:
Isso significa que
dos e-mails são marcados como spam pelo filtro (considerando acertos e falsos positivos).
Passo 8
Voltamos ao Teorema de Bayes e substituímos números:
Para simplificar a fração multiplicamos numerador e denominador por
(ou observamos que
) e reduzimos:
Passo 9
Convertendo para decimal e para porcentagem:
Arredondando para duas casas decimais dá
.
Interpretação rápida e amiga: se o filtro marca um e-mail como spam, há uma chance muito alta (cerca de
) de que ele realmente seja spam — isso acontece porque o filtro acerta muito bem e, além disso, mais da metade dos e-mails são spam (prevalência alta), o que aumenta a confiança na marcação.