(1,5) Atualmente, 55 \% de todos os e-mails são spam. Um filtro de spam detecta corretamente 99 \% de todos os e-mails que são spam. Entretanto, o filtro também marca incorretamente 5 \% dos emails que não são spam como spam. Caso um email seja detectado como spam, qual a probabilidade que seja realmente spam?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo.
  • Informações fornecidas:
    • Atualmente, 55\% de todos os e-mails são spam.
    • O filtro detecta corretamente 99\% dos e-mails que são spam.
    • O filtro marca incorretamente 5\% dos e-mails que não são spam como spam.
  • Pergunta:
    • Caso um email seja detectado como spam, qual a probabilidade que ele seja realmente spam?

Passo 2

Definimos eventos para organizar as ideias (isso ajuda muito na prova):
  • Seja S o evento “o email é spam”.
  • Seja D o evento “o filtro detecta o email como spam” (ou seja, é marcado como spam).
Agora escrevemos as probabilidades dadas em forma decimal (conversão de porcentagem para probabilidade):
  • \Pr(S)=0,55 (porque 55\%=0,55).
  • \Pr(D\mid S)=0,99 (detector acerta 99\% dos spams).
  • \Pr(D\mid S^{c})=0,05 (marcação errada de 5\% dos não-spam; aqui S^{c} é “não spam”).
O que queremos calcular é \Pr(S\mid D): a probabilidade de ser spam dado que o filtro marcou como spam.

Passo 3

A ferramenta que usamos é o Teorema de Bayes. Vou explicar devagar:
  • A definição de probabilidade condicional \Pr(A\mid B) é a probabilidade de A ocorrer quando já sabemos que B ocorreu.
  • O Teorema de Bayes relaciona \Pr(S\mid D) com quantidades que conhecemos:
\Pr(S\mid D)=\frac{\Pr(D\mid S)\Pr(S)}{\Pr(D)}.
Aqui:
  • \Pr(D\mid S) é a probabilidade do detector marcar como spam quando é spam (já dada).
  • \Pr(S) é a prevalência de spam (já dada).
  • \Pr(D) é a probabilidade total de um email ser marcado como spam — precisamos calcular isso usando a lei da probabilidade total.

Passo 4

Aplicamos a lei da probabilidade total para \Pr(D):
\Pr(D)=\Pr(D\mid S)\Pr(S)+\Pr(D\mid S^{c})\Pr(S^{c}).
Explicando: toda vez que um email é marcado como spam ele ou é spam (caso S) ou não é spam (caso S^{c}). Somamos as contribuições de ambos os casos.

Passo 5

Calculamos cada termo numérico:
  • Primeiro, \Pr(D\mid S)\Pr(S)=0,99\cdot0,55.
    Fazendo a conta:
0,99\cdot0,55=0,5445.

Passo 6

  • Depois, \Pr(D\mid S^{c})\Pr(S^{c}). Note que \Pr(S^{c})=1-\Pr(S)=1-0,55=0,45.
    Então:
0,05\cdot0,45=0,0225.

Passo 7

Somamos para obter \Pr(D):
\Pr(D)=0,5445+0,0225=0,567.
Isso significa que 56,7\% dos e-mails são marcados como spam pelo filtro (considerando acertos e falsos positivos).

Passo 8

Voltamos ao Teorema de Bayes e substituímos números:
\Pr(S\mid D)=\frac{0,99\cdot0,55}{0,567}=\frac{0,5445}{0,567}.
Para simplificar a fração multiplicamos numerador e denominador por 10000 (ou observamos que 0,5445/0,567=5445/5670) e reduzimos:
\frac{5445}{5670}=\frac{121}{126}.

Passo 9

Convertendo para decimal e para porcentagem:
\frac{121}{126}\approx0,96031746\quad\Rightarrow\quad 96,031746\%.
Arredondando para duas casas decimais dá 96,03\%.
Interpretação rápida e amiga: se o filtro marca um e-mail como spam, há uma chance muito alta (cerca de 96\%) de que ele realmente seja spam — isso acontece porque o filtro acerta muito bem e, além disso, mais da metade dos e-mails são spam (prevalência alta), o que aumenta a confiança na marcação.

Resposta

\,96,03\%

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