• Exemplo: Os camarões machos da espécie Penaus paulensis para serem considerados adultos devem apresentar um comprimento total maior ou igual a 22 mm . Se numa população de camarões machos, a média dos comprimentos foi igual a \mu=27,3 \mathrm{~mm} e desvio padrão \sigma =7,8 \mathrm{~mm}, portanto, considerada como sendo uma população adulta. Pergunta-se:
  • Qual a probabilidade de, para uma amostra de n=35 camarões, obtermos uma média \bar{X} \leq 22 m m ?
  • Qual deve ser o valor para a média do comprimento total, \mu, a fim de que P(\bar{X} \leq 22)=0,05 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações dadas:
  • O comprimento é medido em milímetros.
  • A população de camarões tem média populacional \mu = 27,3\\ \mathrm{mm}.
  • O desvio-padrão populacional é \sigma = 7,8\\ \mathrm{mm}.
  • O tamanho da amostra é n = 35.
  • A condição para “adulto” é comprimento \ge 22\\ \mathrm{mm}.
Perguntas:
  1. Qual a probabilidade de que, numa amostra de n=35 camarões, a média amostral \bar{X} seja \le 22\\ \mathrm{mm}, isto é, calcular P(\bar{X}\le 22) usando os dados acima?
  2. Qual deve ser o valor da média populacional \mu para que P(\bar{X}\le 22)=0,05 quando n=35 e \sigma=7,8\\ \mathrm{mm}?

Passo 2

Entender o modelo e a ferramenta que vamos usar (a ideia por trás das fórmulas).
Quando tiramos uma amostra aleatória de tamanho n de uma população com média \mu e desvio-padrão \sigma, a distribuição da média amostral \bar{X} tem média \mu_{\bar{X}}=\mu e desvio-padrão (erro padrão)
\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \mu é a média verdadeira da população (o que queremos ou é dado).
  • \sigma é o desvio-padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.
  • \sigma_{\bar{X}} é o desvio-padrão da distribuição de \bar{X}, também chamado de erro padrão.
    Pela teoria (Teorema Central do Limite), se n é razoavelmente grande (regra prática: n\gtrsim 30), a distribuição de \bar{X} é bem aproximada por uma normal. Aqui n=35, então podemos usar a normal para calcular probabilidades.
Para transformar um valor de \bar{X} em um valor da normal padrão Z usamos o escore z:
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma_{\bar{X}}}=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}.
A partir de Z usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para obter probabilidades.

Passo 3

Calcular o erro padrão \sigma_{\bar{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} numericamente.
Primeiro calculemos \sqrt{n}=\sqrt{35}.
\sqrt{35}\approx 5,91608.
Agora
\sigma_{\bar{X}}=\frac{7,8}{\sqrt{35}}=\frac{7,8}{5,91608}\approx 1,31875\\ \mathrm{mm}.
Portanto o erro padrão da média amostral é aproximadamente \sigma_{\bar{X}}\approx 1,31875\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Resolver a primeira pergunta: calcular P(\bar{X}\le 22) quando \mu=27,3.
Aplicamos o escore z para \bar{X}=22:
Z=\frac{22-\mu}{\sigma_{\bar{X}}}=\frac{22-27,3}{1,31875}=\frac{-5,3}{1,31875}\approx -4,02.
Interpretação: P(\bar{X}\le 22)=P\big(Z\le -4,02\big).
Agora precisamos do valor da função de distribuição da normal padrão em -4,02. Valores em caudas tão distantes são muito pequenos. Usando tabela ou calculadora da normal padrão:
P\big(Z\le -4,02\big)\approx 2{,}9\times 10^{-5}.
Ou seja, aproximadamente 0{,}000029. Interpretação prática: é praticamente zero — muito improvável obter média \le 22 se a média real é 27,3.

Passo 5

Resolver a segunda pergunta: encontrar \mu tal que P(\bar{X}\le 22)=0,05.
Seja z_{0,05} o quantil da normal padrão tal que P(Z\le z_{0,05})=0,05. Pelo uso de tabela de quantis,
z_{0,05}\approx -1,645.
Usamos a relação
\frac{22-\mu}{\sigma_{\bar{X}}}=z_{0,05}=-1,645.
Agora isolamos \mu:
22-\mu = -1,645\cdot \sigma_{\bar{X}}
\mu = 22 + 1,645\cdot \sigma_{\bar{X}}.
Substituindo \sigma_{\bar{X}}\approx 1,31875,
\mu \approx 22 + 1,645\times 1,31875 \approx 22 + 2,16934 \approx 24,16934\\ \mathrm{mm}.
Arredondando razoavelmente, \mu\approx 24,17\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: se a verdadeira média populacional fosse cerca de 24{,}17\\ \mathrm{mm}, então haveria 5% de probabilidade de uma amostra de 35 camarões ter média \le 22\\ \mathrm{mm}.

Resposta

P(\bar{X}\le 22)\approx 2{,}9\times 10^{-5}.
\mu necessário para P(\bar{X}\le 22)=0{,}05 é \mu\approx 24{,}17\\ \mathrm{mm}.

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