- Exemplo: Os camarões machos da espécie Penaus paulensis para serem considerados adultos devem apresentar um comprimento total maior ou igual a 22 mm . Se numa população de camarões machos, a média dos comprimentos foi igual a
e desvio padrão
, portanto, considerada como sendo uma população adulta. Pergunta-se:
- Qual a probabilidade de, para uma amostra de
camarões, obtermos uma média
?
- Qual deve ser o valor para a média do comprimento total,
, a fim de que
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações dadas:
- O comprimento é medido em milímetros.
- A população de camarões tem média populacional
. - O desvio-padrão populacional é
. - O tamanho da amostra é
. - A condição para “adulto” é comprimento
.
Perguntas:
- Qual a probabilidade de que, numa amostra de
camarões, a média amostral seja , isto é, calcular usando os dados acima? - Qual deve ser o valor da média populacional
para que quando e ?
Passo 2
Entender o modelo e a ferramenta que vamos usar (a ideia por trás das fórmulas).
Quando tiramos uma amostra aleatória de tamanho
de uma população com média
e desvio-padrão
, a distribuição da média amostral
tem média
e desvio-padrão (erro padrão)
Explicando cada símbolo:
-
é a média verdadeira da população (o que queremos ou é dado). -
é o desvio-padrão da população. -
é o tamanho da amostra. -
é o desvio-padrão da distribuição de , também chamado de erro padrão.
Pela teoria (Teorema Central do Limite), seé razoavelmente grande (regra prática: ), a distribuição de é bem aproximada por uma normal. Aqui , então podemos usar a normal para calcular probabilidades.
Para transformar um valor de
em um valor da normal padrão
usamos o escore z:
A partir de
usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para obter probabilidades.
Passo 3
Calcular o erro padrão
numericamente.
Primeiro calculemos
.
Agora
Portanto o erro padrão da média amostral é aproximadamente
.
Passo 4
Resolver a primeira pergunta: calcular
quando
.
Aplicamos o escore z para
:
Interpretação:
.
Agora precisamos do valor da função de distribuição da normal padrão em
. Valores em caudas tão distantes são muito pequenos. Usando tabela ou calculadora da normal padrão:
Ou seja, aproximadamente
. Interpretação prática: é praticamente zero — muito improvável obter média
se a média real é
.
Passo 5
Resolver a segunda pergunta: encontrar
tal que
.
Seja
o quantil da normal padrão tal que
. Pelo uso de tabela de quantis,
Usamos a relação
Agora isolamos
:
Substituindo
,
Arredondando razoavelmente,
.
Interpretação: se a verdadeira média populacional fosse cerca de
, então haveria 5% de probabilidade de uma amostra de 35 camarões ter média
.