Pesquisa mostram que mesmo as empresas mais responsáveis dão informações incorretas 15 \% das vezes. Suponha que você esteja testando uma determinada empresa fazendo 10 solicitações de informação sobre um determinado produto e considere que a empresa esteja neste rol das responsáveis.
a) Ache a probabilidade de se obter uma informação incorreta.
b) Ache a probabilidade de se obter, no máximo, uma informação incorreta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas probabilidades:
  • A pesquisa diz que mesmo empresas responsáveis dão informação incorreta com probabilidade \,0{,}15 em cada solicitação.
  • Você faz 10 solicitações de informação a essa empresa (assuma que cada solicitação é independente).
  • Perguntas:
    a) Ache a probabilidade de se obter uma informação incorreta entre essas 10 solicitações (interpreto aqui como a probabilidade de ocorrer pelo menos uma informação incorreta nas 10 solicitações).
    b) Ache a probabilidade de se obter, no máximo, uma informação incorreta nas 10 solicitações (ou seja, 0 ou 1 incorreta).

Passo 2

Definimos a variável aleatória que vamos analisar:
X = \text{número de informações incorretas nas }10\text{ solicitações.}úçõçõ
Os parâmetros conhecidos são:
n = 10,\quad p = 0{,}15,\quad q = 1-p = 0{,}85.
Aqui n é o número de tentativas (solicitações), p é a probabilidade de “sucesso” (neste problema, sucesso = informação incorreta) em cada tentativa, e q é a probabilidade de não ocorrer incorreção numa tentativa.

Passo 3

A distribuição que descreve X é dada pela fórmula (vou escrever a fórmula e explicar cada parte):
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,q^{\,n-k}.
Explicando cada símbolo de forma simples:
  • \,P(X=k) é a probabilidade de exatamente k informações incorretas nas n solicitações.
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras diferentes de escolher quais k das n solicitações serão incorretas. Calcula-se por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n\times(n-1)\times\cdots\times1. Por exemplo, \binom{10}{1}=\dfrac{10!}{1!\,9!}=10.
  • p^{k} é a probabilidade de que exatamente k tentativas sejam incorretas.
  • q^{\,n-k} é a probabilidade de que as outras n-k tentativas sejam corretas.
Vou usar essa fórmula para calcular os casos que interessam: k=0 e k=1. Além disso usarei a relação útil
P(X\ge 1)=1-P(X=0),
que nos evita somar muitas probabilidades quando queremos “pelo menos uma”.

Passo 4

Calcular P(X\ge 1) (probabilidade de ocorrer pelo menos uma incorreção) por complementaridade:
P(X\ge 1)=1-P(X=0).
Primeiro calcule P(X=0) usando a fórmula com k=0:
P(X=0)=\binom{10}{0}p^{0}q^{10}=1\cdot 1\cdot q^{10}=q^{10}=(0{,}85)^{10}.
Agora vamos calcular (0{,}85)^{10} passo a passo (multiplicações feitas de forma transparente):
(0{,}85)^{2}=0{,}7225,
(0{,}85)^{3}=0{,}7225\times0{,}85=0{,}614125,
(0{,}85)^{4}=0{,}614125\times0{,}85=0{,}52200625,
(0{,}85)^{5}=0{,}52200625\times0{,}85=0{,}4437053125,
(0{,}85)^{6}=0{,}4437053125\times0{,}85=0{,}377149515625,
(0{,}85)^{7}=0{,}377149515625\times0{,}85=0{,}32057708828125,
(0{,}85)^{8}=0{,}32057708828125\times0{,}85=0{,}2724905250390625,
(0{,}85)^{9}=0{,}2724905250390625\times0{,}85=0{,}23161694628320312,
(0{,}85)^{10}=0{,}23161694628320312\times0{,}85=0{,}19687440434072265\approx0{,}1969.
Portanto
P(X=0)\approx0{,}1968744043.
Logo
P(X\ge 1)=1-P(X=0)\approx 1-0{,}1968744043=0{,}8031255957\approx0{,}8031.

Passo 5

Agora calcule P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1).
Já temos P(X=0)=(0{,}85)^{10}\approx0{,}1968744043.
Calcule P(X=1) usando a fórmula com k=1:
P(X=1)=\binom{10}{1}p^{1}q^{9}=10\cdot(0{,}15)\cdot(0{,}85)^{9}.
Usamos o valor de (0{,}85)^{9} calculado acima: (0{,}85)^{9}\approx0{,}2316169463.
Multiplicando:
10\cdot0{,}15=1{,}5,
1{,}5\times0{,}2316169463\approx0{,}34742541945\approx0{,}3474.
Portanto
P(X=1)\approx0{,}3474254194.
Somando:
P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)\approx0{,}1968744043+0{,}3474254194=0{,}5442998237\approx0{,}5443.

Passo 6

Resumo numérico e interpretação curta (sem fórmulas agora): com 10 solicitações e probabilidade de erro por solicitação igual a 0{,}15, a chance de você encontrar pelo menos uma informação incorreta é cerca de 80{,}31\%. A chance de ter no máximo uma incorreta (ou seja, 0 ou 1) é cerca de 54{,}43\%. Isso significa que, mesmo uma empresa “responsável”, em 10 pedidos é bastante provável encontrar pelo menos um erro — fique esperto na prova e na vida real!

Resposta

(a) P(\text{pelo menos uma incorreta})\approx0{,}8031
(b) P(\text{no máximo uma incorreta})\approx0{,}5443á

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