(1,0) Em um estúdio de gravação, há dois microfones instalados para captar o som ambiente: um próximo à bateria e outro próximo aos amplificadores de guitarra. Se um músico toca uma nota alta na guitarra, a probabilidade de que o microfone próximo aos amplificadores capte o som é 0.80 . Já a probabilidade de que o microfone próximo à bateria também capte esse som é 0.60 . Os dois microfones operam de forma independente na detecção do som.
a. Se uma nota alta for tocada na guitarra, qual a probabilidade de que o som seja captado por ambos os microfones?
b. Qual a probabilidade de que o som da guitarra seja captado por pelo menos um dos microfones?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informação 1: A probabilidade de que o microfone próximo aos amplificadores capte a nota alta é 0,80.
  • Informação 2: A probabilidade de que o microfone próximo à bateria capte a mesma nota é 0,60.
  • Informação 3: Os dois microfones operam de forma independente (ou seja, a detecção de um não afeta a detecção do outro).
Perguntas:
a. Se uma nota alta for tocada na guitarra, qual a probabilidade de que o som seja captado por ambos os microfones?
b. Qual a probabilidade de que o som da guitarra seja captado por pelo menos um dos microfones?

Passo 2

Vamos definir eventos para ficar mais claro.
  • Seja A o evento “microfone dos amplificadores capta o som”. Então P(A)=0,80.
  • Seja B o evento “microfone da bateria capta o som”. Então P(B)=0,60.
Agora uma pequena aula sobre independência (explicação prática): dizer que A e B são independentes significa que saber que um microfone captou ou não não muda a probabilidade do outro captar. A consequência mais útil é a regra para a interseção (ambos ocorrerem):
P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).
Essa fórmula diz: a probabilidade de dois eventos independentes ocorrerem juntos é o produto das probabilidades individuais.

Passo 3

Aplicando a regra da independência para responder a letra (a):
P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0,80\times 0,60.
Vamos multiplicar passo a passo:
0,80\times 0,60=0,48.
Portanto, a probabilidade de ambos os microfones captarem o som é 0,48.

Passo 4

Agora a letra (b). Vou ensinar duas maneiras equivalentes e mostrar os cálculos (você pode usar a que achar mais simples na prova).
Método 1 — usando o complemento (geralmente o mais rápido): “pelo menos um capta” é o complemento de “nenhum capta”. Então
P(\text{pelo menos um})=1-P(\text{nenhum}).
O evento “nenhum capta” é A^{c}\cap B^{c}. Como A e B são independentes, seus complementos também são independentes, logo
P(A^{c}\cap B^{c})=P(A^{c})\cdot P(B^{c}).
Calculamos os complementos:
P(A^{c})=1-P(A)=1-0,80=0,20,
P(B^{c})=1-P(B)=1-0,60=0,40.
Multiplicando:
P(A^{c}\cap B^{c})=0,20\times 0,40=0,08.
Logo
P(\text{pelo menos um})=1-0,08=0,92.

Passo 5

Método 2 — usando a fórmula da união (verificação): A probabilidade de “pelo menos um” é P(A\cup B). A fórmula geral é
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Substituindo os valores que já temos:
P(A\cup B)=0,80+0,60-0,48=1,40-0,48=0,92.
Obtemos o mesmo resultado, confirmado.

Passo 6

Pequeno exemplo extra (para fixar): se dois detectores têm P(A)=0,50 e P(B)=0,30 e são independentes, então ambos = 0,50\times 0,30=0,15 e pelo menos um = 1-(0,50)(0,70)=1-0,35=0,65. Isso mostra o mesmo raciocínio em outro número.

Passo 7

Recapitulando de forma amigável: multiplica quando pede “ambos” (se forem independentes) e usa complemento ou a fórmula da união para “pelo menos um”. Você já conseguiu — tá indo bem!

Resposta

a) 0,48
b) 0,92

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