Em um estúdio de gravação, há dois microfones instalados para captar o som ambiente: um próximo à bateria e outro próximo aos amplificadores de guitarra. Se um músico toca uma nota alta na guitarra, a probabilidade de que o microfone próximo aos amplificadores capte o som é 0.80 . Já a probabilidade de que o microfone próximo à bateria também capte esse som é 0.60 . Os dois microfones operam de forma independente na detecção do som.
a. Se uma nota alta for tocada na guitarra, qual a probabilidade de que o som seja captado por ambos os microfones?
b. Qual a probabilidade de que o som da guitarra seja captado por pelo menos um dos microfones?
a. Se uma nota alta for tocada na guitarra, qual a probabilidade de que o som seja captado por ambos os microfones?
b. Qual a probabilidade de que o som da guitarra seja captado por pelo menos um dos microfones?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Informação 1: A probabilidade de que o microfone próximo aos amplificadores capte a nota alta é
. - Informação 2: A probabilidade de que o microfone próximo à bateria capte a mesma nota é
. - Informação 3: Os dois microfones operam de forma independente (ou seja, a detecção de um não afeta a detecção do outro).
Perguntas:
a. Se uma nota alta for tocada na guitarra, qual a probabilidade de que o som seja captado por ambos os microfones?
b. Qual a probabilidade de que o som da guitarra seja captado por pelo menos um dos microfones?
a. Se uma nota alta for tocada na guitarra, qual a probabilidade de que o som seja captado por ambos os microfones?
b. Qual a probabilidade de que o som da guitarra seja captado por pelo menos um dos microfones?
Passo 2
Vamos definir eventos para ficar mais claro.
- Seja
o evento “microfone dos amplificadores capta o som”. Então . - Seja
o evento “microfone da bateria capta o som”. Então .
Agora uma pequena aula sobre independência (explicação prática): dizer que
e
são independentes significa que saber que um microfone captou ou não não muda a probabilidade do outro captar. A consequência mais útil é a regra para a interseção (ambos ocorrerem):
Essa fórmula diz: a probabilidade de dois eventos independentes ocorrerem juntos é o produto das probabilidades individuais.
Passo 3
Aplicando a regra da independência para responder a letra (a):
Vamos multiplicar passo a passo:
Portanto, a probabilidade de ambos os microfones captarem o som é
.
Passo 4
Agora a letra (b). Vou ensinar duas maneiras equivalentes e mostrar os cálculos (você pode usar a que achar mais simples na prova).
Método 1 — usando o complemento (geralmente o mais rápido): “pelo menos um capta” é o complemento de “nenhum capta”. Então
O evento “nenhum capta” é
. Como
e
são independentes, seus complementos também são independentes, logo
Calculamos os complementos:
Multiplicando:
Logo
Passo 5
Método 2 — usando a fórmula da união (verificação): A probabilidade de “pelo menos um” é
. A fórmula geral é
Substituindo os valores que já temos:
Obtemos o mesmo resultado, confirmado.
Passo 6
Pequeno exemplo extra (para fixar): se dois detectores têm
e
e são independentes, então ambos =
e pelo menos um =
. Isso mostra o mesmo raciocínio em outro número.
Passo 7
Recapitulando de forma amigável: multiplica quando pede “ambos” (se forem independentes) e usa complemento ou a fórmula da união para “pelo menos um”. Você já conseguiu — tá indo bem!
Resposta
a)
b)
b)