Atuam sobre um corpo rígido, as forç \vec{F}_{1}=50 \vec{\imath}+20 \vec{\jmath} \mathrm{~N} a e \vec{F}_{2}=-30 \vec{\imath}+40 \vec{k} \mathrm{~N}. Reduza o sistema ao ponto O .

Passo 1

O enunciado fornece as duas forças aplicadas no corpo rígido e pede que o sistema seja reduzido ao ponto O. Informações dadas:
  • \vec{F}_{1} = 50\,\vec{\imath} + 20\,\vec{\jmath}\\ \mathrm{N}.
  • \vec{F}_{2} = -30\,\vec{\imath} + 40\,\vec{k}\\ \mathrm{N}.
    O que é pedido:
  • Reduzir o sistema ao ponto O, ou seja, encontrar a força resultante aplicada em O (soma vetorial das forças) e o momento resultante em O (soma dos momentos das forças em relação a O).
    Observação importante (não resolvida aqui): o enunciado não deu as posições de aplicação das forças relativas ao ponto O. Para calcular numericamente o momento em O são necessárias as posições (vetores posição) \vec{r}_1 e \vec{r}_2 dos pontos de aplicação de \vec{F}_1 e \vec{F}_2 medidos a partir de O. Como essas posições não foram fornecidas, não é possível obter valores numéricos para os componentes do momento; porém é possível:
  • calcular a força resultante numérica;
  • escrever a expressão geral do momento em O em função de \vec{r}_1 e \vec{r}_2.

Passo 2

Soma vetorial das forças (força resultante). Regra: para somar vetores em componentes, soma-se cada componente correspondente. Vou somar as componentes x (i), y (j) e z (k).
\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2
As componentes:
R_x = 50 + (-30) = 20, \qquad R_y = 20 + 0 = 20, \qquad R_z = 0 + 40 = 40.
Portanto,
\vec{R} = 20\,\vec{\imath} + 20\,\vec{\jmath} + 40\,\vec{k}\\ \mathrm{N}.
Explicação rápida do porquê: forças são vetores livres quanto à soma — pode-se somar as componentes independentemente e o resultado é a força única equivalente.

Passo 3

Interpretação física e o que falta: a redução de um sistema de forças a um ponto O dá uma força resultante aplicável em O mais um momento (um “torque” livre) em O que representa o efeito rotacional das forças quando deslocadas até O. A fórmula geral para o momento em O é:
\vec{M}_O=\sum_{i} \vec{r}_i \times \vec{F}_i,
onde \vec{r}_i é o vetor posição do ponto de aplicação da força i em relação a O e \times é o produto vetorial (cross product). Reforçando: sem \vec{r}_1 e \vec{r}_2 não dá para calcular números, mas dá para escrever a expressão simbólica.

Passo 4

Lembrando como calcular o produto vetorial com componentes. Para dois vetores
\vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z),
o produto vetorial tem componentes
\vec{a}\times\vec{b} = \bigl(a_y b_z - a_z b_y\bigr)\,\vec{\imath} + \bigl(a_z b_x - a_x b_z\bigr)\,\vec{\jmath} + \bigl(a_x b_y - a_y b_x\bigr)\,\vec{k}.
Vou aplicar isso a \vec{r}_1=(x_1,y_1,z_1) e \vec{F}_1=(50,20,0). Calculando componente a componente:
\vec{r}_1\times\vec{F}_1 = \bigl(y_1\cdot 0 - z_1\cdot 20\bigr)\,\vec{\imath} + \bigl(z_1\cdot 50 - x_1\cdot 0\bigr)\,\vec{\jmath} + \bigl(x_1\cdot 20 - y_1\cdot 50\bigr)\,\vec{k}.
Simplificando:
\vec{r}_1\times\vec{F}_1 = (-20 z_1)\,\vec{\imath} + (50 z_1)\,\vec{\jmath} + (20 x_1 - 50 y_1)\,\vec{k}.

Passo 5

Agora o mesmo para \vec{r}_2=(x_2,y_2,z_2) e \vec{F}_2=(-30,0,40). Usando a fórmula:
\vec{r}_2\times\vec{F}_2 = \bigl(y_2\cdot 40 - z_2\cdot 0\bigr)\,\vec{\imath} + \bigl(z_2\cdot (-30) - x_2\cdot 40\bigr)\,\vec{\jmath} + \bigl(x_2\cdot 0 - y_2\cdot (-30)\bigr)\,\vec{k}.
Simplificando:
\vec{r}_2\times\vec{F}_2 = (40 y_2)\,\vec{\imath} + (-40 x_2 - 30 z_2)\,\vec{\jmath} + (30 y_2)\,\vec{k}.

Passo 6

Somando os momentos parciais para obter o momento resultante em O:
\vec{M}_O = \vec{r}_1\times\vec{F}_1 + \vec{r}_2\times\vec{F}_2.
Somando componente a componente (usar os resultados dos Passos 4 e 5):
\begin{aligned} M_{O,x} &= -20 z_1 + 40 y_2,\\[4pt] M_{O,y} &= 50 z_1 - 40 x_2 - 30 z_2,\\[4pt] M_{O,z} &= 20 x_1 - 50 y_1 + 30 y_2. \end{aligned}
Portanto, em forma vetorial:
\vec{M}_O = \bigl(-20 z_1 + 40 y_2\bigr)\,\vec{\imath} + \bigl(50 z_1 - 40 x_2 - 30 z_2\bigr)\,\vec{\jmath} + \bigl(20 x_1 - 50 y_1 + 30 y_2\bigr)\,\vec{k}.
Comentário prático: se no exame aparecerem números para \vec{r}_1 e \vec{r}_2, basta substituir x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2 e calcular as componentes acima.]

Passo 7

Extras úteis na hora da prova (dicas rápidas e cálculos que acostumam pedir):
  • Magnitude da força resultante:
\|\vec{R}\|=\sqrt{R_x^{2}+R_y^{2}+R_z^{2}} =\sqrt{20^{2}+20^{2}+40^{2}}=\sqrt{400+400+1600}=\sqrt{2400}=20\sqrt{6}\\ \mathrm{N}.
  • Vetor unitário na direção da resultante:
\hat{u}_R=\frac{\vec{R}}{\|\vec{R}\|}=\frac{1}{20\sqrt{6}}\bigl(20\,\vec{\imath}+20\,\vec{\jmath}+40\,\vec{k}\bigr) =\frac{1}{\sqrt{6}}\bigl(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\bigr).
Estas informações ajudam se pedirem direção ou intensidade da força equivalente aplicada em O.

Resposta

\vec{R}=20\,\vec{\imath}+20\,\vec{\jmath}+40\,\vec{k}\\ \mathrm{N}\n
\vec{M}_O=\bigl(-20 z_1 + 40 y_2\bigr)\,\vec{\imath}+\bigl(50 z_1 - 40 x_2 - 30 z_2\bigr)\,\vec{\jmath}+\bigl(20 x_1 - 50 y_1 + 30 y_2\bigr)\,\vec{k}

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