Uma força \vec{F} de intensidade 500 N atua ao longo da reta que liga os pontos A(1 ; 2) e B(5 ; 5) no sentido de A para B. Determine a forma vetorial da força.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dado: uma força de intensidade \,500\\ \text{N}\,.
  • Dado: a força atua ao longo da reta que liga os pontos A(1;2) e B(5;5), no sentido de A para B.
  • Pedido: determinar a forma vetorial da força (ou seja, escrever \vec{F} como vetor em componentes ou em base \hat{\imath},\hat{\jmath}).

Passo 2

Encontrar um vetor que indique a direção de A para B.
  • O vetor direção \vec{AB} é obtido subtraindo as coordenadas de A das de B.
\vec{AB} = B - A = (5-1,\;5-2).
  • Calculando:
\vec{AB}=(4,\;3).
Isto nos dá a direção (com comprimento) da reta do ponto A para o ponto B.

Passo 3

Calcular o módulo (comprimento) do vetor direção \vec{AB}.
  • Fórmula para o módulo de um vetor (x,y):
\|\,(x,y)\,\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Aplicando a \vec{AB}=(4,3):
\|\vec{AB}\|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.

Passo 4

Construir o vetor unitário na direção de A para B.
  • Um vetor unitário \hat{u} tem módulo 1 e aponta na mesma direção que \vec{AB}. Obtém‑se dividindo \vec{AB} pelo seu módulo:
\hat{u}=\frac{\vec{AB}}{\|\vec{AB}\|}=\frac{1}{5}(4,\;3).
  • Calculando:
\hat{u}=\left(\frac{4}{5},\;\frac{3}{5}\right).
  • Verificação rápida (opcional): o módulo de \hat{u} é
\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16+9}{25}}=\sqrt{1}=1,
confirmando que é unitário.

Passo 5

Obter o vetor força multiplicando o vetor unitário pela intensidade dada.
  • Se a força tem intensidade \,500\\ \text{N} e direção \hat{u}, então
\vec{F}=500\;\hat{u}=500\left(\frac{4}{5},\;\frac{3}{5}\right).
  • Calculando os componentes:
\vec{F}=\left(500\cdot\frac{4}{5},\;500\cdot\frac{3}{5}\right)=(400,\;300).

Passo 6

Escrever a resposta em formas usuais e verificar consistência.
  • Forma em componentes:
\vec{F}=(400,\;300)\\ \text{N}.
  • Forma em base canônica:
\vec{F}=400\,\hat{\imath}+300\,\hat{\jmath}\\ \text{N}.
  • Verificação do módulo:
\|\vec{F}\|=\sqrt{400^{2}+300^{2}}=\sqrt{160000+90000}=\sqrt{250000}=500,
o que confirma que a intensidade ficou correta.

Resposta

\vec{F}=(400,\;300)\\ \text{N}

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