No ponto A(2,4) atua a força:
\vec{F}_{1}=300 \vec{\imath}+150 \vec{\jmath} \mathrm{~N}
Use o teorema de Varignon para determinar o momento de \vec{F} em relação à origem O.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (todos os números e vetores abaixo foram fornecidos no enunciado):
  • Ponto de aplicação da força: A(2,4). Ou seja, as coordenadas são x=2 e y=4 (unidades em metros).
  • Força em A:
\vec{F}_{1}=300\,\vec{\imath}+150\,\vec{\jmath}\\ \mathrm{N}.
  • O que é pedido: determinar o momento de \vec{F} em relação à origem O. O enunciado pede que se use o teorema de Varignon.

Passo 2

O que é momento (torque) de uma força e como vamos trabalhar com ele (aula rápida e prática).
  • Definição vetorial: o momento de uma força \vec{F} em relação a um ponto O é o produto vetorial do vetor posição \vec{r} (do ponto O até o ponto de aplicação) pela força:
\vec{M}_{O}=\vec{r}\times\vec{F}.
  • Em coordenadas no plano xy, com \vec{r}=(x,y,0) e \vec{F}=(F_x,F_y,0), o produto vetorial tem só componente z. A fórmula prática (muito usada em exercícios) para o componente escalar do momento (orientado segundo o eixo z) é
M_O = xF_y - yF_x,
onde:
  • x e y são as coordenadas do ponto de aplicação (em metros);
  • F_x e F_y são as componentes da força (em newtons).
  • Convenção de sinal: se M_O>0 o sentido é anti-horário (para cima, +\vec{k}); se M_O<0 é horário (para baixo, -\vec{k}). A unidade é \mathrm{N\cdot m}.
  • Teorema de Varignon (usado aqui): o momento de uma força em relação a um ponto é igual à soma dos momentos das componentes da força em relação a esse ponto. Em fórmulas:
\vec{F}=\vec{F}_x+\vec{F}_y \quad\Rightarrow\quad \vec{M}_O=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{r}\times\vec{F}_x+\vec{r}\times\vec{F}_y.
Isto facilita porque dá para calcular momentos separados das componentes horizontais e verticais.

Passo 3

Escrever explicitamente o vetor posição e decompor a força (aqui tomo os dados do enunciado):
  • Vetor posição do ponto A em relação à origem:
\vec{r}=2\,\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath}.
  • Decomposição da força (já dada em componentes):
\vec{F}_x=300\,\vec{\imath},\qquad \vec{F}_y=150\,\vec{\jmath}.

Passo 4

Calcular os momentos parciais das componentes (aplicando \vec{M}=\vec{r}\times\vec{F} a cada componente).
  • Momento devido à componente x (força horizontal):
\vec{M}_{O,x}=\vec{r}\times\vec{F}_x =(2,4,0)\times(300,0,0).
Fazendo o produto vetorial (aplicando a regra do determinante ou a fórmula para a componente z):
(\vec{M}_{O,x})_z=2\cdot 0 - 4\cdot 300 = -1200.
Portanto
\vec{M}_{O,x}=(0,0,-1200)\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Momento devido à componente y (força vertical):
\vec{M}_{O,y}=\vec{r}\times\vec{F}_y =(2,4,0)\times(0,150,0).
Com a mesma fórmula para a componente z:
(\vec{M}_{O,y})_z=2\cdot 150 - 4\cdot 0 = 300.
Portanto
\vec{M}_{O,y}=(0,0,300)\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Somar os momentos parciais pelo teorema de Varignon para obter o momento total (deixo a soma em forma algébrica, a simplificação final aparece só na seção de resposta):
\vec{M}_O=\vec{M}_{O,x}+\vec{M}_{O,y}=(0,0,-1200)+(0,0,300)=(0,0,-1200+300)\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Interpretação do sinal e da direção (importante na prova):
  • A soma algebraica envolveu um termo negativo maior em módulo (resultado de -1200+300), portanto o momento resultante terá sinal negativo. Isso significa que o sentido do momento é horário, isto é, ao longo do eixo -\vec{k}.
  • Unidade final é \mathrm{N\cdot m} e pode ser apresentado tanto como vetor (0,0,\text{valor}) quanto como escalar com indicação direcional \text{valor}\,\vec{k}.

Resposta

\vec{M}_O=(0,0,-900)\\ \mathrm{N\cdot m}=-900\\ \mathrm{N\cdot m}\,\vec{k}

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