Augusto é o gerente de uma revendedora de carros. Toda semana ele tem cinco carros para venda. Se ele vender até dois carros, não ganha qualquer adicional ao seu salário. Se vender três ou mais carros, ganha um prêmio de \mathrm{R} \ 500,00$ por cada carro vendido. As chances de venda dos carros são independentes. A probabilidade de cada carro ser vendido é 0,6 .
(a) Determine a função massa de probabilidade do prêmio semanal ganho por Augusto.

Passo 1

O enunciado diz: Augusto tem 5 carros para vender toda semana; cada carro é vendido com probabilidade 0{,}6 e as vendas são independentes. A regra do prêmio semanal é:
  • se vender até 2 carros, não recebe adicional (prêmio 0);
  • se vender 3 ou mais carros, recebe um prêmio de R$ 500{,}00 por cada carro vendido.
Pergunta: determinar a função massa de probabilidade do prêmio semanal ganho por Augusto.
Informações relevantes listadas:
  • número de carros n=5;
  • probabilidade de vender cada carro p=0{,}6;
  • vendas independentes;
  • prêmio por carro (quando aplicável) = R$ 500;
  • prêmio total Y depende do número de carros vendidos X por: Y= \begin{cases} 0, & \text{se }X\le 2,\\[4pt] 500\cdot X, & \text{se }X\ge 3. \end{cases}]

Passo 2

Vamos modelar o número de carros vendidos por semana por uma variável aleatória X. Como temos n=5 tentativas idênticas e independentes com probabilidade de sucesso p=0{,}6 em cada tentativa, X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=5 e p=0{,}6. A fórmula da massa de probabilidade da binomial é:
\mathbb{P}(X=k)=\binom{5}{k}\,p^{\,k}(1-p)^{\,5-k},
onde \binom{5}{k} é o número de combinações de escolher k sucessos em 5 tentativas, p^{\,k} é a probabilidade de obter esses k sucessos e (1-p)^{\,5-k} é a probabilidade dos 5-k fracassos. Aqui p=0{,}6 e 1-p=0{,}4.
Explico rapidamente o coeficiente binomial: \binom{5}{k}=\dfrac{5!}{k!(5-k)!}, por exemplo \binom{5}{2}=10, \binom{5}{3}=10, \binom{5}{4}=5.

Passo 3

Calcular as probabilidades de X necessárias (vou mostrar contas passo a passo e os valores numéricos):
  • Para k=0:
\mathbb{P}(X=0)=\binom{5}{0}(0{,}6)^0(0{,}4)^5=1\cdot 1\cdot 0{,}4^5=0{,}4^5=0{,}01024.
  • Para k=1:
\mathbb{P}(X=1)=\binom{5}{1}(0{,}6)^1(0{,}4)^4=5\cdot 0{,}6\cdot 0{,}4^4=5\cdot 0{,}6\cdot 0{,}0256=0{,}0768.
  • Para k=2:
\mathbb{P}(X=2)=\binom{5}{2}(0{,}6)^2(0{,}4)^3=10\cdot 0{,}36\cdot 0{,}064=10\cdot 0{,}02304=0{,}2304.
  • Para k=3:
\mathbb{P}(X=3)=\binom{5}{3}(0{,}6)^3(0{,}4)^2=10\cdot 0{,}216\cdot 0{,}16=10\cdot 0{,}03456=0{,}3456.
  • Para k=4:
\mathbb{P}(X=4)=\binom{5}{4}(0{,}6)^4(0{,}4)^1=5\cdot 0{,}1296\cdot 0{,}4=5\cdot 0{,}05184=0{,}2592.
  • Para k=5:
\mathbb{P}(X=5)=\binom{5}{5}(0{,}6)^5(0{,}4)^0=1\cdot 0{,}6^5=0{,}07776.
Verificação rápida: a soma \sum_{k=0}^5 \mathbb{P}(X=k)=0{,}01024+0{,}0768+0{,}2304+0{,}3456+0{,}2592+0{,}07776=1{,}0000, ok.

Passo 4

Agora relacionamos Y\) (prêmio em reais) com \(X\). Conforme passo 1, \[Y= \begin{cases} 0, & X\in\{0,1,2\},\\[4pt] 500X, & X\in\{3,4,5\}. \end{cases}
Os valores possíveis de Y\] são, portanto, \(\{0,1500,2000,2500\}, correspondendo respectivamente a X=\{0,1,2\} (tudo junto dá prêmio 0), X=3,4,5.
A função massa de probabilidade de Y é obtida somando as probabilidades de X que levam ao mesmo valor de Y. Assim:
\mathbb{P}(Y=0)=\mathbb{P}(X\le 2)=\sum_{k=0}^2 \binom{5}{k}0{,}6^k0{,}4^{5-k},
e para y=500k com k\in\{3,4,5\},
\mathbb{P}(Y=500k)=\mathbb{P}(X=k)=\binom{5}{k}0{,}6^k0{,}4^{5-k}.]

Passo 5

Substituindo os valores numéricos encontrados no Passo 3, obtemos a PMF final:
  • \mathbb{P}(Y=0)=\mathbb{P}(X\le 2)=0{,}01024+0{,}0768+0{,}2304=0{,}31744.
  • \mathbb{P}(Y=1500)=\mathbb{P}(X=3)=0{,}3456.
  • \mathbb{P}(Y=2000)=\mathbb{P}(X=4)=0{,}2592.
  • \mathbb{P}(Y=2500)=\mathbb{P}(X=5)=0{,}07776.
Também é útil escrever a PMF de forma compacta:
p_Y(y)= \begin{cases} \displaystyle \sum_{k=0}^{2} \binom{5}{k}0{,}6^{k}0{,}4^{5-k}, & y=0,\\[8pt] \displaystyle \binom{5}{k}0{,}6^{k}0{,}4^{5-k}, & y=500k \text{ com }k\in\{3,4,5\},\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

Resposta

\mathbb{P}(Y=0)=0{,}31744
\mathbb{P}(Y=1500)=0{,}3456
\mathbb{P}(Y=2000)=0{,}2592
\mathbb{P}(Y=2500)=0{,}07776

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