Ex. 4 Augusto é o gerente de uma revendedora de carros. Toda semana ele tem cinco carros para venda. Se ele vender até dois carros, não ganha qualquer adicional ao seu salário. Se vender três ou mais carros, ganha um prêmio de \mathrm{R} \ 500,00$ por cada carro vendido. As chances de venda dos carros são independentes. A probabilidade de cada carro ser vendido é 0,6 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede algo (vou deixar explícito o que precisa ser encontrado):
  • Augusto tem 5 carros para vender a cada semana.
  • As vendas de cada carro são independentes.
  • A probabilidade de um carro ser vendido é 0,6 (logo a de não ser vendido é 0,4).
  • Regra de prêmio: se ele vender até 2 carros, não recebe prêmio; se vender 3 ou mais, recebe \mathrm{R}\$\;500,00 por cada carro vendido. Ou seja, se vender k carros com k\ge3, o prêmio é \mathrm{R}\$\;500\cdot k.
Pergunta que vamos resolver: Calcular o prêmio esperado (valor médio do prêmio) que Augusto recebe em uma semana.

Passo 2

Vamos modelar o número de carros vendidos por semana por uma variável aleatória. Definimos:
  • Seja X o número de carros vendidos em uma semana. Como temos 5 tentativas independentes com probabilidade p=0,6 de sucesso (venda) em cada uma, X segue a distribuição binomial com parâmetros n=5 e p=0,6. Escrevemos X\sim\mathrm{Bin}(5,0,6).
Agora a fórmula da distribuição binomial: para k=0,1,\dots,5,
P(X=k)=\binom{5}{k}\,p^{k}(1-p)^{5-k}.
Explicando a fórmula devagar:
  • \binom{5}{k} (lê-se “5 escolhe k”) é o número de maneiras de escolher quais k carros entre os 5 foram vendidos; é calculado por fatoriais:
\binom{5}{k}=\frac{5!}{k!(5-k)!},
onde n! = n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Por exemplo, 5!=120, 3!=6.
  • p^{k} é a probabilidade de ocorrerem k vendas nas k escolhas.
  • (1-p)^{5-k} é a probabilidade dos outros 5-k carros não serem vendidos.
Isso nos dá as probabilidades necessárias para cada possível k.

Passo 3

Vamos calcular as probabilidades relevantes: apenas k=3,4,5 importam para o prêmio (porque para k\le2 o prêmio é zero). Calculemos cada uma detalhadamente com p=0,6 e q=1-p=0,4.
Calcular \binom{5}{3}, \binom{5}{4}, \binom{5}{5}:
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!}=\frac{120}{6\cdot2}=10,
\binom{5}{4}=\frac{5!}{4!1!}=\frac{120}{24\cdot1}=5,
\binom{5}{5}=1.
Agora use a fórmula:
P(X=3)=\binom{5}{3}p^{3}q^{2}=10\cdot(0,6)^{3}\cdot(0,4)^{2}.
Calcule passo a passo:
(0,6)^{3}=0,6\cdot0,6\cdot0,6=0,216.
(0,4)^{2}=0,16.
Multiplicando: 10\cdot0,216\cdot0,16=10\cdot0,03456=0,3456.
Portanto
P(X=3)=0,3456.
Para k=4:
P(X=4)=\binom{5}{4}p^{4}q^{1}=5\cdot(0,6)^{4}\cdot0,4.
Calcule:
(0,6)^{4}=0,6\cdot0,6\cdot0,6\cdot0,6=0,1296.
Então 5\cdot0,1296\cdot0,4=5\cdot0,05184=0,2592.
Logo
P(X=4)=0,2592.
Para k=5:
P(X=5)=\binom{5}{5}p^{5}=1\cdot(0,6)^{5}.
Calcule:
(0,6)^{5}=0,6\cdot0,1296=0,07776.
Logo
P(X=5)=0,07776.
(A conferência rápida: somando todas as probabilidades de k=0 a 5 1; as probabilidades para k\le2 somam 0,31744 e para k\ge3 somam 0,68256.)

Passo 4

Agora modelamos o prêmio recebido, que é uma nova variável aleatória B\) (em reais). Pela regra do enunciado: \[B=\begin{cases} 0, & \text{se }X\le2,\\[4pt] 500\cdot X, & \text{se }X\ge3. \end{cases}
Queremos o valor esperado \mathbb{E}[B]\], que é a média ponderada dos valores possíveis de \(B pelas suas probabilidades:
\mathbb{E}[B]=\sum_{k=0}^{5} b(k)\,P(X=k),
onde b(k) é o prêmio quando X=k. Como b(k)=0 para k=0,1,2, só precisamos somar para k=3,4,5:
\mathbb{E}[B]=500\cdot\big(3P(X=3)+4P(X=4)+5P(X=5)\big).
Explicação didática: multiplicamos o valor do prêmio em cada caso pelo quão provável é esse caso, e somamos — isso dá a média esperada.]

Passo 5

Vamos calcular \mathbb{E}[B] numérico, usando as probabilidades obtidas:
Primeiro calcule cada termo interno:
3P(X=3)=3\cdot0,3456=1,0368,
4P(X=4)=4\cdot0,2592=1,0368,
5P(X=5)=5\cdot0,07776=0,3888.
Some esses valores:
3P(X=3)+4P(X=4)+5P(X=5)=1,0368+1,0368+0,3888=2,4624.
Agora multiplique por 500:
\mathbb{E}[B]=500\cdot2,4624=1\,231,2.
Convertendo para reais com formato monetário brasileiro, o prêmio esperado semanal é \text{R\$ }1.231,20.

Resposta

\text{R\$ }1.231,20

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