Ex. 4 Augusto é o gerente de uma revendedora de carros. Toda semana ele tem cinco carros para venda. Se ele vender até dois carros, não ganha qualquer adicional ao seu salário. Se vender três ou mais carros, ganha um prêmio de
500,00$ por cada carro vendido. As chances de venda dos carros são independentes. A probabilidade de cada carro ser vendido é 0,6 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede algo (vou deixar explícito o que precisa ser encontrado):
- Augusto tem
carros para vender a cada semana. - As vendas de cada carro são independentes.
- A probabilidade de um carro ser vendido é
(logo a de não ser vendido é ). - Regra de prêmio: se ele vender até
carros, não recebe prêmio; se vender ou mais, recebe por cada carro vendido. Ou seja, se vender carros com , o prêmio é .
Pergunta que vamos resolver: Calcular o prêmio esperado (valor médio do prêmio) que Augusto recebe em uma semana.
Passo 2
Vamos modelar o número de carros vendidos por semana por uma variável aleatória. Definimos:
- Seja
o número de carros vendidos em uma semana. Como temos tentativas independentes com probabilidade de sucesso (venda) em cada uma, segue a distribuição binomial com parâmetros e . Escrevemos .
Agora a fórmula da distribuição binomial: para
,
Explicando a fórmula devagar:
-
(lê-se “5 escolhe k”) é o número de maneiras de escolher quais carros entre os foram vendidos; é calculado por fatoriais:
onde
. Por exemplo,
,
.
-
é a probabilidade de ocorrerem vendas nas escolhas. -
é a probabilidade dos outros carros não serem vendidos.
Isso nos dá as probabilidades necessárias para cada possível
.
Passo 3
Vamos calcular as probabilidades relevantes: apenas
importam para o prêmio (porque para
o prêmio é zero). Calculemos cada uma detalhadamente com
e
.
Calcular
,
,
:
Agora use a fórmula:
Calcule passo a passo:
.
.
Multiplicando: .
Portanto
Multiplicando:
Portanto
Para
:
Calcule:
.
Então .
Logo
Então
Logo
Para
:
Calcule:
.
Logo
Logo
(A conferência rápida: somando todas as probabilidades de
a
dá
; as probabilidades para
somam
e para
somam
.)
Passo 4
Agora modelamos o prêmio recebido, que é uma nova variável aleatória
Queremos o valor esperado
pelas suas probabilidades:
onde
é o prêmio quando
. Como
para
, só precisamos somar para
:
Explicação didática: multiplicamos o valor do prêmio em cada caso pelo quão provável é esse caso, e somamos — isso dá a média esperada.]
Passo 5
Vamos calcular
numérico, usando as probabilidades obtidas:
Primeiro calcule cada termo interno:
Some esses valores:
Agora multiplique por
:
Convertendo para reais com formato monetário brasileiro, o prêmio esperado semanal é
.