Ex. 3 Seja X \sim \operatorname{Bin}(4,1 / 2). Encontre sua função de massa de probabilidade e sua função de distribuição acumulada. Faça um esboço da função de distribuição acumulada.

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros n=4 e p=1/2. O que ele pede:
  • Encontrar a função massa de probabilidade (pmf) de X, isto é, P(X=k) para k=0,1,2,3,4.
  • Encontrar a função de distribuição acumulada (cdf) de X, isto é, F(x)=P(X\le x) para todo x\in\mathbb{R}.
  • Fazer um esboço da função de distribuição acumulada (mostrar como a cdf se comporta, com os saltos nos inteiros).
Informações relevantes dadas:
  • n=4 (número de ensaios),
  • p=\tfrac{1}{2} (probabilidade de sucesso em cada ensaio),
  • X\sim\operatorname{Bin}(4,\tfrac{1}{2}).

Passo 2

Vamos lembrar e entender a fórmula da pmf da distribuição binomial. A pmf diz a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n ensaios independentes, cada um com probabilidade p de sucesso. A fórmula é:
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras distintas de escolher quais k dos n ensaios foram sucessos (coincide com “combinações”),
  • p^{k} é a probabilidade de ocorrerem sucessos nas posições escolhidas,
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de ocorrerem as falhas nas outras posições.
Explicando \binom{n}{k}: usamos a definição
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n\cdot(n-1)\cdots1. Por exemplo,
\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{2\cdot2}=6.
No nosso caso n=4 e p=\tfrac{1}{2}, então a fórmula fica
P(X=k)=\binom{4}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4-k}=\binom{4}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}=\frac{\binom{4}{k}}{16}.
Isso simplifica muito os cálculos: basta calcular \binom{4}{k} e dividir por 16.

Passo 3

Calculemos \binom{4}{k} e P(X=k)=\dfrac{\binom{4}{k}}{16} para cada k=0,1,2,3,4:
  • Para k=0:
\binom{4}{0}=1,\qquad P(X=0)=\frac{1}{16}.
  • Para k=1:
\binom{4}{1}=4,\qquad P(X=1)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}.
  • Para k=2:
\binom{4}{2}=6,\qquad P(X=2)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.
  • Para k=3:
\binom{4}{3}=4,\qquad P(X=3)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}.
  • Para k=4:
\binom{4}{4}=1,\qquad P(X=4)=\frac{1}{16}.
Verificação rápida: somando as probabilidades
\frac{1}{16}+\frac{4}{16}+\frac{6}{16}+\frac{4}{16}+\frac{1}{16}=\frac{16}{16}=1,
ou seja, está consistente.

Passo 4

Agora escrevemos a função massa de probabilidade de forma compacta. Para k\in\{0,1,2,3,4\},
P(X=k)=\frac{\binom{4}{k}}{16},
e para k\notin\{0,1,2,3,4\} temos P(X=k)=0.
Podemos também listar os valores numéricos:
P(X=0)=\tfrac{1}{16},\quad P(X=1)=\tfrac{4}{16}=\tfrac{1}{4},\quad P(X=2)=\tfrac{6}{16}=\tfrac{3}{8},\quad P(X=3)=\tfrac{1}{4},\quad P(X=4)=\tfrac{1}{16}.

Passo 5

Agora vamos à função de distribuição acumulada (cdf). Por definição, para qualquer x\in\mathbb{R},
F(x)=P(X\le x)=\sum_{k:\,k\le x} P(X=k).
Como X só pode assumir os inteiros 0,1,2,3,4, a cdf é uma função em escada (step function) que só muda de valor nos pontos x=0,1,2,3,4. Entre esses inteiros a cdf é constante.

Passo 6

Calculemos F(x) por intervalos de x:
  • Se x<0, então não há k\le x entre 0 e 4, logo
F(x)=0.
  • Se 0\le x<1, só k=0 satisfaz k\le x, então
F(x)=P(X\le x)=P(X=0)=\tfrac{1}{16}.
  • Se 1\le x<2, temos k=0,1, então
F(x)=P(X=0)+P(X=1)=\tfrac{1}{16}+\tfrac{4}{16}=\tfrac{5}{16}.
  • Se 2\le x<3, temos k=0,1,2, então
F(x)=\tfrac{5}{16}+\tfrac{6}{16}=\tfrac{11}{16}.
  • Se 3\le x<4, temos k=0,1,2,3, então
F(x)=\tfrac{11}{16}+\tfrac{4}{16}=\tfrac{15}{16}.
  • Se x\ge4, todas as possibilidades 0,1,2,3,4 estão incluídas, então
F(x)=1.

Passo 7

Esboço da cdf (descrição para desenhar): a cdf é uma função em degraus com saltos nos pontos x=0,1,2,3,4. Os valores à direita de cada inteiro são:
  • em x=0^+: F= \tfrac{1}{16} (salto de altura \tfrac{1}{16} em x=0),
  • em x=1^+: F= \tfrac{5}{16} (salto de altura \tfrac{4}{16} em x=1),
  • em x=2^+: F= \tfrac{11}{16} (salto de altura \tfrac{6}{16} em x=2),
  • em x=3^+: F= \tfrac{15}{16} (salto de altura \tfrac{4}{16} em x=3),
  • em x=4^+: F=1 (salto de altura \tfrac{1}{16} em x=4).
Se for desenhar no papel: marque o eixo x de -1 a 5, no intervalo (-1,0) a cdf está em 0; em [0,1) a cdf vale \tfrac{1}{16}; em [1,2) vale \tfrac{5}{16}; em [2,3) vale \tfrac{11}{16}; em [3,4) vale \tfrac{15}{16}; e para x\ge4 vale 1. Desenhe pontos preenchidos à direita do salto (valor da cdf no intervalo) e círculos abertos imediatamente à esquerda dos saltos, se quiser indicar a descontinuidade à esquerda.

Resposta

Função massa de probabilidade:
P(X=k)=\begin{cases} \dfrac{\binom{4}{k}}{16}, & k\in\{0,1,2,3,4\},\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Função de distribuição acumulada:
F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \dfrac{1}{16}, & 0\le x<1,\\[4pt] \dfrac{5}{16}, & 1\le x<2,\\[4pt] \dfrac{11}{16}, & 2\le x<3,\\[4pt] \dfrac{15}{16}, & 3\le x<4,\\[4pt] 1, & x\ge 4. \end{cases}]

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