Ex. 3 Seja
. Encontre sua função de massa de probabilidade e sua função de distribuição acumulada. Faça um esboço da função de distribuição acumulada.
Passo 1
O enunciado dá que
é uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros
e
. O que ele pede:
- Encontrar a função massa de probabilidade (pmf) de
, isto é, para . - Encontrar a função de distribuição acumulada (cdf) de
, isto é, para todo . - Fazer um esboço da função de distribuição acumulada (mostrar como a cdf se comporta, com os saltos nos inteiros).
Informações relevantes dadas:
-
(número de ensaios), -
(probabilidade de sucesso em cada ensaio), -
.
Passo 2
Vamos lembrar e entender a fórmula da pmf da distribuição binomial. A pmf diz a probabilidade de obter exatamente
sucessos em
ensaios independentes, cada um com probabilidade
de sucesso. A fórmula é:
onde:
-
é o número de maneiras distintas de escolher quais dos ensaios foram sucessos (coincide com “combinações”), -
é a probabilidade de ocorrerem sucessos nas posições escolhidas, -
é a probabilidade de ocorrerem as falhas nas outras posições.
Explicando
: usamos a definição
onde
(fatorial) é
. Por exemplo,
No nosso caso
e
, então a fórmula fica
Isso simplifica muito os cálculos: basta calcular
e dividir por
.
Passo 3
Calculemos
e
para cada
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Verificação rápida: somando as probabilidades
ou seja, está consistente.
Passo 4
Agora escrevemos a função massa de probabilidade de forma compacta. Para
,
e para
temos
.
Podemos também listar os valores numéricos:
Podemos também listar os valores numéricos:
Passo 5
Agora vamos à função de distribuição acumulada (cdf). Por definição, para qualquer
,
Como
só pode assumir os inteiros
, a cdf é uma função em escada (step function) que só muda de valor nos pontos
. Entre esses inteiros a cdf é constante.
Passo 6
Calculemos
por intervalos de
:
- Se
, então não há entre e , logo
- Se
, só satisfaz , então
- Se
, temos , então
- Se
, temos , então
- Se
, temos , então
- Se
, todas as possibilidades estão incluídas, então
Passo 7
Esboço da cdf (descrição para desenhar): a cdf é uma função em degraus com saltos nos pontos
. Os valores à direita de cada inteiro são:
- em
: (salto de altura em ), - em
: (salto de altura em ), - em
: (salto de altura em ), - em
: (salto de altura em ), - em
: (salto de altura em ).
Se for desenhar no papel: marque o eixo
de
a
, no intervalo
a cdf está em
; em
a cdf vale
; em
vale
; em
vale
; em
vale
; e para
vale
. Desenhe pontos preenchidos à direita do salto (valor da cdf no intervalo) e círculos abertos imediatamente à esquerda dos saltos, se quiser indicar a descontinuidade à esquerda.
Resposta
Função massa de probabilidade:
Função de distribuição acumulada: