Ex. 6 Um corretor de seguros vende uma apólice que possui uma franquia de 100 u.m. (unidades monetárias) e um limite máximo de 5000 u.m… Isso significa que, quando o segurado faz uma reivindicação, ele deve pagar os primeiros 100 u.m… Após os primeiros 100 u.m., a companhia de seguros paga o restante da reivindicação até um pagamento máximo de 5000 u.m… Qualquer valor excedente deve ser pago pelo segurado. Suponha que o valor X de uma reivindicação tenha uma distribuição contínua com f.d.p.
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{l} (1+x)^{-2} \quad \text { para } x>0 \\\\ 0 \quad \text { c.c. } \end{array}\right.
Seja Y o valor que a companhia de seguros deve pagar na reivindicação.
(a) Escreva Y como uma função de X, isto é g(X).
(b) Ache a função de distribuição acumulada de Y. Dica: \mathbb{P}[Y \leq y]= \mathbb{P}[g(X) \leq y].

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
  • A variável aleatória X\) é o valor de uma reivindicação e tem densidade \[f_X(x)=\begin{cases}(1+x)^{-2},& x>0,\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}
  • A apólice tem franquia de 100\] u.m. e limite máximo de pagamento de \(5000 u.m. Isso significa:
    • O segurado paga os primeiros 100 u.m. de qualquer sinistro.
    • A companhia paga o que exceder 100 u.m. até, no máximo, 5000 u.m.
    • Se o sinistro for maior que 100+5000=5100 u.m., o segurado cobre o excedente e a companhia paga exatamente 5000 u.m.
Perguntas:
(a) Escrever Y (valor pago pela companhia) como função de X, ou seja Y=g(X).
(b) Achar a função de distribuição acumulada de Y, isto é F_Y(y)=\mathbb{P}[Y\le y].]

Passo 2

Vamos traduzir em palavras para obter a função g. Pense em casos possíveis para X:
  • Se X\le 100: o segurado paga tudo, a companhia paga 0.
  • Se 100<X\le 5100: a companhia paga a parte acima da franquia, ou seja X-100.
  • Se X>5100: a companhia paga o teto 5000.
Logo a função g é a função por partes indicada a seguir.

Passo 3

Escrever explicitamente g\). Com base no raciocínio do passo anterior: \[g(x)=\begin{cases} 0,& 0<x\le 100,\\[4pt] x-100,& 100<x\le 5100,\\[4pt] 5000,& x>5100. \end{cases}
Observações rápidas: para x\le 0\] a densidade de \(X é zero, então só nos interessam x>0. No ponto x=100 a companhia paga 0, no ponto x=5100 paga 5000 (ambos consistentes com a definição por partes).]

Passo 4

Agora vamos construir F_Y(y)=\mathbb{P}[Y\le y]=\mathbb{P}[g(X)\le y]. Primeiro identifique os possíveis valores de Y:
  • Y pode ser 0 (quando X\in(0,100]),
  • Y pode assumir valores contínuos em (0,5000) (quando X\in(100,5100) e Y=X-100),
  • Y pode ser 5000 com probabilidade positiva (quando X>5100).
Portanto o domínio de Y é [0,5000] com massas nos pontos 0 e 5000 e parte contínua entre eles.

Passo 5

Calcule F_X(x) a partir da densidade dada, porque vamos precisar de F_X para expressar F_Y. Integramos a densidade:
F_X(x)=\int_{0}^{x}(1+t)^{-2}\,dt.
Fazendo a integral:
\int(1+t)^{-2}\,dt=- (1+t)^{-1}+C.
Logo, para x>0,
F_X(x)=\big[-(1+t)^{-1}\big]_{t=0}^{t=x}= -\frac{1}{1+x} -\big(-\frac{1}{1+0}\big)=1-\frac{1}{1+x}.
Resumindo,
F_X(x)=\begin{cases}0,& x\le 0,\\[4pt]1-\dfrac{1}{1+x},& x>0.\end{cases}]

Passo 6

Agora relacionamos F_Y com F_X em cada faixa de y.
  1. Se y<0: claramente F_Y(y)=0 porque Y\ge 0 sempre.
  2. Se 0\le y<5000: pedimos \mathbb{P}[g(X)\le y]. Note que
  • Para X\le 100 temos g(X)=0\le y, então todos esses X contam.
  • Para X>100 com X\le 5100 temos g(X)=X-100\le y se e somente se X\le 100+y.
  • Para X>5100 temos g(X)=5000>y (já que y<5000), então esses X não contam.
Portanto, para 0\le y<5000,
\mathbb{P}[Y\le y]=\mathbb{P}[X\le 100+y]=F_X(100+y).
  1. Se y\ge 5000: como Y\le 5000 sempre, temos \mathbb{P}[Y\le y]=1.

Passo 7

Substitua a expressão de F_X no caso intermediário para obter uma fórmula explícita. Para 0\le y<5000,
F_Y(y)=F_X(100+y)=1-\frac{1}{1+(100+y)}=1-\frac{1}{101+y}.
Também convém calcular as massas pontuais:
  • Massa em Y=0: \mathbb{P}(Y=0)=\mathbb{P}(X\le 100)=F_X(100)=1-\dfrac{1}{101}=\dfrac{100}{101}.
  • Massa em Y=5000: \mathbb{P}(Y=5000)=\mathbb{P}(X>5100)=1-F_X(5100)=\dfrac{1}{5101}.
Verificação rápida: a soma das probabilidades nos pontos e da parte contínua ao limite 5000^- dá 1, pois
\lim_{y\to 5000^-}F_Y(y)=1-\frac{1}{101+5000}=1-\frac{1}{5101}=\frac{5100}{5101},
e então o salto em 5000 é \dfrac{1}{5101}, compatível com \mathbb{P}(Y=5000).

Passo 8

Escrevemos a função de distribuição acumulada completa de Y\) por partes, incluindo os casos extremos e as probabilidades pontuais já encontradas: \[F_Y(y)=\begin{cases} 0,& y<0,\\[6pt] 1-\dfrac{1}{101+y},& 0\le y<5000,\\[8pt] 1,& y\ge 5000. \end{cases}
Observações finais: há um salto em y=0\] de tamanho \(\dfrac{100}{101} (massa em 0) e um salto em y=5000 de tamanho \dfrac{1}{5101} (massa em 5000); entre 0 e 5000 a CDF é dada pela expressão contínua acima.]

Resposta

(a) g(x)=\begin{cases} 0,& 0<x\le 100,\\[4pt] x-100,& 100<x\le 5100,\\[4pt] 5000,& x>5100. \end{cases}
(b) F_Y(y)=\begin{cases} 0,& y<0,\\[6pt] 1-\dfrac{1}{101+y},& 0\le y<5000,\\[8pt] 1,& y\ge 5000. \end{cases}]

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