Ex. 6 Um corretor de seguros vende uma apólice que possui uma franquia de 100 u.m. (unidades monetárias) e um limite máximo de 5000 u.m… Isso significa que, quando o segurado faz uma reivindicação, ele deve pagar os primeiros 100 u.m… Após os primeiros 100 u.m., a companhia de seguros paga o restante da reivindicação até um pagamento máximo de 5000 u.m… Qualquer valor excedente deve ser pago pelo segurado. Suponha que o valor X de uma reivindicação tenha uma distribuição contínua com f.d.p.
Seja Y o valor que a companhia de seguros deve pagar na reivindicação.
(a) Escreva Y como uma função de X, isto é g(X).
(b) Ache a função de distribuição acumulada de Y. Dica: \mathbb{P}[Y \leq y]= \mathbb{P}[g(X) \leq y].
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
A variável aleatória X\) é o valor de uma reivindicação e tem densidade
\[f_X(x)=\begin{cases}(1+x)^{-2},& x>0,\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}
A apólice tem franquia de 100\] u.m. e limite máximo de pagamento de \(5000 u.m. Isso significa:
O segurado paga os primeiros 100 u.m. de qualquer sinistro.
A companhia paga o que exceder 100 u.m. até, no máximo, 5000 u.m.
Se o sinistro for maior que 100+5000=5100 u.m., o segurado cobre o excedente e a companhia paga exatamente 5000 u.m.
Perguntas:
(a) Escrever Y (valor pago pela companhia) como função de X, ou seja Y=g(X).
(b) Achar a função de distribuição acumulada de Y, isto é F_Y(y)=\mathbb{P}[Y\le y].]
Passo 2
Vamos traduzir em palavras para obter a função g. Pense em casos possíveis para X:
Se X\le 100: o segurado paga tudo, a companhia paga 0.
Se 100<X\le 5100: a companhia paga a parte acima da franquia, ou seja X-100.
Se X>5100: a companhia paga o teto 5000.
Logo a função g é a função por partes indicada a seguir.
Passo 3
Escrever explicitamente g\). Com base no raciocínio do passo anterior:
\[g(x)=\begin{cases} 0,& 0<x\le 100,\\[4pt] x-100,& 100<x\le 5100,\\[4pt] 5000,& x>5100. \end{cases}
Observações rápidas: para x\le 0\] a densidade de \(X é zero, então só nos interessam x>0. No ponto x=100 a companhia paga 0, no ponto x=5100 paga 5000 (ambos consistentes com a definição por partes).]
Passo 4
Agora vamos construir F_Y(y)=\mathbb{P}[Y\le y]=\mathbb{P}[g(X)\le y]. Primeiro identifique os possíveis valores de Y:
Y pode ser 0 (quando X\in(0,100]),
Y pode assumir valores contínuos em (0,5000) (quando X\in(100,5100) e Y=X-100),
Y pode ser 5000 com probabilidade positiva (quando X>5100).
Portanto o domínio de Y é [0,5000] com massas nos pontos 0 e 5000 e parte contínua entre eles.
Passo 5
Calcule F_X(x) a partir da densidade dada, porque vamos precisar de F_X para expressar F_Y. Integramos a densidade:
e então o salto em 5000 é \dfrac{1}{5101}, compatível com \mathbb{P}(Y=5000).
Passo 8
Escrevemos a função de distribuição acumulada completa de Y\) por partes, incluindo os casos extremos e as probabilidades pontuais já encontradas:
\[F_Y(y)=\begin{cases} 0,& y<0,\\[6pt] 1-\dfrac{1}{101+y},& 0\le y<5000,\\[8pt] 1,& y\ge 5000. \end{cases}
Observações finais: há um salto em y=0\] de tamanho \(\dfrac{100}{101} (massa em 0) e um salto em y=5000 de tamanho \dfrac{1}{5101} (massa em 5000); entre 0 e 5000 a CDF é dada pela expressão contínua acima.]