Aula 16, exercício 2 [B2]
Seja
. A equação diferencial ordinária
onde
, é denominada equação de Bessel de ordem
(alpha). Seja
.
(a) Mostre que o método de Frobenius fornece apenas uma solução.
(b) Suponha que essa solução seja conhecida, que denominaremos função de Bessel de ordem
e denotaremos por
Vamos encontrar a segunda solução pelo método de redução de ordem. Para isso, suponha que a segunda solução seja da forma
Substituindo
na equação de Bessel de ordem
, mostre que
onde
é uma constante positiva.
(a) Mostre que o método de Frobenius fornece apenas uma solução.
(b) Suponha que essa solução seja conhecida, que denominaremos função de Bessel de ordem
Passo 1
O enunciado dá a equação
com
. Pede duas coisas:
(a) mostrar que o método de Frobenius fornece apenas uma solução (ou seja, apenas uma série de potências independente), quando é inteiro;
(b) supondo conhecida essa solução (a função de Bessel de ordem
), encontrar a segunda solução pela redução de ordem, assumindo forma
, e chegar à fórmula
(a) mostrar que o método de Frobenius fornece apenas uma solução (ou seja, apenas uma série de potências independente), quando
(b) supondo conhecida essa solução
onde
é uma constante.
Passo 2
Aplicando o método de Frobenius: assumimos uma solução da forma
e calculamos as derivadas (sempre dentro do somatório):
Multiplicando pelos fatores da equação e somando, obtemos
Reescrevendo o segundo somatório como soma a partir de
para comparar potências
, achamos a condição de coeficientes nulos para todo
:
onde, para
, entende-se
, e para
,
.
A equação do coeficiente de menor potência (termo independente) dá a equação indicial:
isto é,
Portanto o método de Frobenius fornece duas raízes
e
.
Passo 3
Vamos analisar o que isso significa quando
.
A recorrência que obtivemos pode ser reorganizada como
Com
obtemos uma série (os termos de mesma paridade acoplados) que gera uma solução em potências de
: essa é a função de Bessel normalmente chamada
.
Com
obteríamos outra série, a priori. Contudo, existe uma identidade conhecida (que pode ser obtida também a partir da série geral abaixo) que relaciona essas duas séries quando
é inteiro:
Tomando
com
, notamos que
tem pólos (valores infinitos) para
, portanto os termos com esses
tornam-se nulos por terem fator
; o somatório começa efetivamente em
. Fazendo a mudança
obtemos
Portanto, quando
é inteiro, a segunda série (associada a
) coincide com a primeira até um fator constante multiplicativo
. Assim, as duas soluções puros fornecidas pela construção direta de séries não são linearmente independentes: obtemos apenas uma solução independente do tipo série,
. (A segunda solução independente, quando procurada pela Frobenius, envolve um termo em
— é a razão pela qual apenas uma solução regular em série pura aparece.)
Passo 4
Agora vamos construir a segunda solução pela redução de ordem, como pede a parte (b). Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por
:
Nesta forma, o coeficiente de
é
.
Suponha que
seja uma solução conhecida. Buscamos
. Calculamos as derivadas:
Substituindo em
e usando que
satisfaz a equação (portanto os termos multiplicando
somam zero), ficamos com a equação que envolve só
e
:
Agrupando os termos:
Defina
. Então obtemos uma equação de primeira ordem para
:
Dividindo por
(lembrando
e
não identicamente zero):
Isto é uma equação linear de primeira ordem. O fator integrante é
Multiplicando pela fator integrante e integrando, obtemos
onde
é constante. Assim
Integrando
obtemos
com
constante de integração e
outra constante. Tomando
e escolhendo
(ou absorvendo
na combinação linear com
), uma escolha conveniente para uma segunda solução independente é
Isto conclui a construção da segunda solução por redução de ordem; a constante
marca o limite inferior da integral.
Resposta
(a) Apenas uma solução independente em série:
(pois
quando
).
(b) .
(b)