Aula 16, exercício 2 [B2]

Seja y=f(x). A equação diferencial ordinária
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-\alpha^{2}\right) y=0
onde x>0, é denominada equação de Bessel de ordem \alpha (alpha). Seja \alpha \in \mathbb{Z}.
(a) Mostre que o método de Frobenius fornece apenas uma solução.
(b) Suponha que essa solução seja conhecida, que denominaremos função de Bessel de ordem \alpha e denotaremos por J_{\alpha}{ }^{2} Vamos encontrar a segunda solução pelo método de redução de ordem. Para isso, suponha que a segunda solução seja da forma \left.Y_{\alpha}(x)=v(x) J_{\alpha}(x)\right]^{3} Substituindo y=Y_{\alpha}(x) na equação de Bessel de ordem \alpha, mostre que
Y_{\alpha}(x)=J_{\alpha}(x) \int_{x_{0}}^{\mathrm{x}} \frac{d s}{s J_{\alpha}^{2}(s)}
onde x_{0} é uma constante positiva.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}y''+x y'+\bigl(x^{2}-\alpha^{2}\bigr)y=0,\qquad x>0,
com \alpha\in\mathbb{Z}. Pede duas coisas:
(a) mostrar que o método de Frobenius fornece apenas uma solução (ou seja, apenas uma série de potências independente), quando \alpha é inteiro;
(b) supondo conhecida essa solução J_{\alpha}(x) (a função de Bessel de ordem \alpha), encontrar a segunda solução pela redução de ordem, assumindo forma Y_{\alpha}(x)=v(x)J_{\alpha}(x), e chegar à fórmula
Y_{\alpha}(x)=J_{\alpha}(x)\int_{x_{0}}^{x}\frac{ds}{s\,J_{\alpha}^{2}(s)},
onde x_{0}>0 é uma constante.

Passo 2

Aplicando o método de Frobenius: assumimos uma solução da forma
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+r},\qquad a_{0}\neq 0,
e calculamos as derivadas (sempre dentro do somatório):
y'=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(n+r)x^{n+r-1},\qquad y''=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(n+r)(n+r-1)x^{n+r-2}.
Multiplicando pelos fatores da equação e somando, obtemos
x^{2}y''+x y'+(x^{2}-\alpha^{2})y =\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\bigl[(n+r)^{2}-\alpha^{2}\bigr]x^{n+r} +\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+r+2}.
Reescrevendo o segundo somatório como soma a partir de n=2 para comparar potências x^{n+r}, achamos a condição de coeficientes nulos para todo n:
a_{n}\bigl[(n+r)^{2}-\alpha^{2}\bigr]+a_{n-2}=0,\qquad n\ge 0,
onde, para n=0, entende-se a_{-2}=0, e para n=1, a_{-1}=0.
A equação do coeficiente de menor potência (termo independente) dá a equação indicial:
a_{0}\bigl(r^{2}-\alpha^{2}\bigr)=0\quad\Rightarrow\quad r^{2}-\alpha^{2}=0,
isto é,
r=\pm\alpha.
Portanto o método de Frobenius fornece duas raízes r_{1}=\alpha e r_{2}=-\alpha.

Passo 3

Vamos analisar o que isso significa quando \alpha\in\mathbb{Z}.
A recorrência que obtivemos pode ser reorganizada como
a_{n}=-\frac{a_{n-2}}{(n+r)^{2}-\alpha^{2}}.
Com r=\alpha obtemos uma série (os termos de mesma paridade acoplados) que gera uma solução em potências de x^{\alpha}: essa é a função de Bessel normalmente chamada J_{\alpha}(x).
Com r=-\alpha obteríamos outra série, a priori. Contudo, existe uma identidade conhecida (que pode ser obtida também a partir da série geral abaixo) que relaciona essas duas séries quando \alpha é inteiro:
J_{\nu}(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}.
Tomando \nu=-\alpha com \alpha\in\mathbb{Z}_{\ge 0}, notamos que \Gamma(m-\alpha+1) tem pólos (valores infinitos) para m=0,1,\dots,\alpha-1, portanto os termos com esses m tornam-se nulos por terem fator 1/\Gamma(\cdot)=0; o somatório começa efetivamente em m=\alpha. Fazendo a mudança m=k+\alpha obtemos
J_{-\alpha}(x)=(-1)^{\alpha}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\,(k+\alpha)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\alpha} =(-1)^{\alpha}J_{\alpha}(x).
Portanto, quando \alpha é inteiro, a segunda série (associada a r=-\alpha) coincide com a primeira até um fator constante multiplicativo (-1)^{\alpha}. Assim, as duas soluções puros fornecidas pela construção direta de séries não são linearmente independentes: obtemos apenas uma solução independente do tipo série, J_{\alpha}(x). (A segunda solução independente, quando procurada pela Frobenius, envolve um termo em \ln x — é a razão pela qual apenas uma solução regular em série pura aparece.)

Passo 4

Agora vamos construir a segunda solução pela redução de ordem, como pede a parte (b). Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por x^{2}:
y''+\frac{1}{x}y'+\left(1-\frac{\alpha^{2}}{x^{2}}\right)y=0.
Nesta forma, o coeficiente de y' é P(x)=\dfrac{1}{x}.
Suponha que y_{1}(x)=J_{\alpha}(x) seja uma solução conhecida. Buscamos y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x). Calculamos as derivadas:
y_{2}'=v'y_{1}+v y_{1}',\qquad y_{2}''=v''y_{1}+2v'y_{1}'+v y_{1}''.
Substituindo em x^{2}y''+x y'+(x^{2}-\alpha^{2})y=0 e usando que y_{1} satisfaz a equação (portanto os termos multiplicando v somam zero), ficamos com a equação que envolve só v'' e v':
x^{2}\bigl(v''y_{1}+2v'y_{1}'\bigr)+x\bigl(v'y_{1}\bigr)=0.
Agrupando os termos:
x^{2}y_{1}\,v''+\bigl(2x^{2}y_{1}'+x y_{1}\bigr)v'=0.
Defina w=v'. Então obtemos uma equação de primeira ordem para w:
x^{2}y_{1}\,w'+\bigl(2x^{2}y_{1}'+x y_{1}\bigr)w=0.
Dividindo por x^{2}y_{1} (lembrando x>0 e y_{1} não identicamente zero):
w'+\left(2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+\frac{1}{x}\right)w=0.
Isto é uma equação linear de primeira ordem. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int\left(2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+\frac{1}{x}\right)dx\right) =\exp\!\left(2\ln y_{1}+\ln x\right)=x\,y_{1}^{2}.
Multiplicando pela fator integrante e integrando, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y_{1}^{2}\,w\bigr)=0\quad\Rightarrow\quad x\,y_{1}^{2}\,w=C,
onde C é constante. Assim
w=v'=\frac{C}{x\,y_{1}^{2}}.
Integrando v' obtemos
v(x)=C\int_{x_{0}}^{x}\frac{ds}{s\,y_{1}^{2}(s)}+C_{2},
com x_{0}>0 constante de integração e C_{2} outra constante. Tomando C\neq 0 e escolhendo C_{2}=0 (ou absorvendo C_{2}y_{1} na combinação linear com y_{1}), uma escolha conveniente para uma segunda solução independente é
Y_{\alpha}(x)=y_{1}(x)\int_{x_{0}}^{x}\frac{ds}{s\,y_{1}^{2}(s)} =J_{\alpha}(x)\int_{x_{0}}^{x}\frac{ds}{s\,J_{\alpha}^{2}(s)}.
Isto conclui a construção da segunda solução por redução de ordem; a constante x_{0}>0 marca o limite inferior da integral.

Resposta

(a) Apenas uma solução independente em série: J_{\alpha}(x) (pois J_{-\alpha}(x)=(-1)^{\alpha}J_{\alpha}(x) quando \alpha\in\mathbb{Z}).
(b) \displaystyle Y_{\alpha}(x)=J_{\alpha}(x)\int_{x_{0}}^{x}\frac{ds}{s\,J_{\alpha}^{2}(s)}.

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