Verifique que a série
é convergente. Dica: compare com uma série geométrica ou use o teste da raiz.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a série
é convergente. Informações relevantes que temos:
- Os termos gerais são positivos: para todo
, . - Precisamos apenas mostrar convergência (não é pedido achar a soma exata).
- A dica sugere comparar com uma série geométrica ou usar o teste da raiz.
Passo 2
Vou primeiro apresentar o teste da raiz (também chamado de teste de Cauchy) de forma bem clara, porque é direto e encaixa perfeitamente aqui.
Definição e ideia do teste da raiz:
então
- se
a série converge (pois, a partir de certo , tem com e essa série geométrica converge); - se
a série diverge; - se
o teste é inconclusivo.
Explicação intuitiva: comparar
com uma razão
tem o mesmo papel de comparar
com
, ou seja, reduzir ao caso de uma série geométrica.
Passo 3
Agora aplico o teste da raiz ao nosso termo
.
Calculo a raiz
-ésima de
:
Então o limite (que aqui é o
) é
Como
, pelo teste da raiz a série
converge. Pronto — teste da raiz resolve direto.
Passo 4
Para consolidar a intuição e seguir a dica, também faço a comparação com uma série geométrica (é mais simples e dá até um limite numérico para a soma).
Observação: para todo
temos
, portanto
. Assim, para
,
Logo
A série geométrica
converge; seu valor pode ser calculado como
Portanto
o que mostra convergência por comparação com uma geométrica e ainda dá uma cota superior para a soma.
Passo 5
Comentário extra (útil na prova): os dois argumentos são simples e válidos. O teste da raiz é muito natural aqui porque a potência
aparece no expoente, o que transforma a raiz
-ésima numa expressão simples (
). A comparação com a geométrica é ainda mais elementar e fornece uma cota numérica (
). Como os termos são positivos, não há distinção entre convergência e convergência absoluta.
Resposta
A série
é convergente.