Verifique que a série
\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{n}}
é convergente. Dica: compare com uma série geométrica ou use o teste da raiz.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a série
\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^{n}}
é convergente. Informações relevantes que temos:
  • Os termos gerais são positivos: para todo n\ge 1, a_n=\dfrac{1}{n^{n}}>0.
  • Precisamos apenas mostrar convergência (não é pedido achar a soma exata).
  • A dica sugere comparar com uma série geométrica ou usar o teste da raiz.

Passo 2

Vou primeiro apresentar o teste da raiz (também chamado de teste de Cauchy) de forma bem clara, porque é direto e encaixa perfeitamente aqui.
Definição e ideia do teste da raiz:
\text{Se }a_n\ge 0\text{ e }L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n},
então
  • se L<1 a série \sum a_n converge (pois, a partir de certo N, tem a_n\le r^n com r<1 e essa série geométrica converge);
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Explicação intuitiva: comparar \sqrt[n]{a_n} com uma razão r tem o mesmo papel de comparar a_n com r^n, ou seja, reduzir ao caso de uma série geométrica.

Passo 3

Agora aplico o teste da raiz ao nosso termo a_n=\dfrac{1}{n^{n}}.
Calculo a raiz n-ésima de a_n:
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{1}{n^{n}}}=\frac{1}{n}.
Então o limite (que aqui é o \limsup) é
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Como 0<1, pelo teste da raiz a série \sum_{n\ge 1}\dfrac{1}{n^{n}} converge. Pronto — teste da raiz resolve direto.

Passo 4

Para consolidar a intuição e seguir a dica, também faço a comparação com uma série geométrica (é mais simples e dá até um limite numérico para a soma).
Observação: para todo n\ge 2 temos n\ge 2, portanto n^{n}\ge 2^{n}. Assim, para n\ge 2,
\frac{1}{n^{n}}\le \frac{1}{2^{n}}.
Logo
\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^{n}}=\frac{1}{1^{1}}+\sum_{n\ge 2}\frac{1}{n^{n}} \le 1+\sum_{n\ge 2}\frac{1}{2^{n}}.
A série geométrica \sum_{n\ge 2}\dfrac{1}{2^{n}} converge; seu valor pode ser calculado como
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\frac{\frac{1}{2^{2}}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1/4}{1/2}=\frac{1}{2}.
Portanto
\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^{n}}\le 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2},
o que mostra convergência por comparação com uma geométrica e ainda dá uma cota superior para a soma.

Passo 5

Comentário extra (útil na prova): os dois argumentos são simples e válidos. O teste da raiz é muito natural aqui porque a potência n aparece no expoente, o que transforma a raiz n-ésima numa expressão simples ( 1/n). A comparação com a geométrica é ainda mais elementar e fornece uma cota numérica ( \le 3/2). Como os termos são positivos, não há distinção entre convergência e convergência absoluta.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^{n}} é convergente.

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