Aula 17, exercício 2
Uma partícula de massa
se movimenta unidimensionalmente sob a ação da força associada à energia potencial
onde
e
são constantes positivas.
(a) No plano
, esboce o gráfico da função
.
(b) Considere pequenas oscilações em torno do ponto
. Calcule o período dessas oscilações.
(c) Suponha que em
, a partícula esteja em
, com energia mecânica
e se movendo com velocidade positiva. Determine a posição como função do tempo.
(d) Obtenha a velocidade da partícula como função do tempo.
(e) Esboce os gráficos da posição e da velocidade como função do tempo.
(a) No plano
(b) Considere pequenas oscilações em torno do ponto
(c) Suponha que em
(d) Obtenha a velocidade da partícula como função do tempo.
(e) Esboce os gráficos da posição e da velocidade como função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial
com
e
. As perguntas são:
(a) esboçar o gráfico de no plano
;
(b) considerar pequenas oscilações em torno de e calcular o período dessas oscilações;
(c) supondo que em a partícula esteja em
com energia mecânica
e velocidade positiva, determinar
;
(d) obter a velocidade ;
(e) esboçar os gráficos de e
.
Informações relevantes: massa da partícula (positiva), casos iniciais para (c) e (d):
,
,
. Neste passo só identifiquei o que é pedido e os dados; não resolvi nada ainda.
(a) esboçar o gráfico de
(b) considerar pequenas oscilações em torno de
(c) supondo que em
(d) obter a velocidade
(e) esboçar os gráficos de
Informações relevantes: massa da partícula
Passo 2
Entendendo a função e o esboço pedido em (a). Primeiro definir o que é
:
onde
é a função cosseno hiperbólica. Algumas propriedades importantes para o esboço:
-
. Logo
-
e é função par: . Então é par (simétrico em relação a ). - Para
, logo . Assim
Com isso o gráfico é um poço simétrico com mínimo em
de valor
e que tende assintoticamente a
quando
. Para o esboço: eixo horizontal
, eixo vertical
; traçar um poço simétrico com
e ramos subindo suavemente até
para
. (Isto responde o item (a) qualitativamente.)
Passo 3
Preparação para pequenas oscilações (item (b)). A ideia: perto de um mínimo numa posição de equilíbrio, uma partícula se comporta como oscilador harmônico com energia potencial aproximada por um polinômio quadrático. Fazemos a expansão em série de
para pequenos
.
Usamos que, para
pequeno,
logo
Assim, ao quadrado,
Substituindo
,
Passo 4
Com a expansão, obtenho a forma quadrática de
perto de
:
Comparando com a forma de potencial harmônico em pequenos deslocamentos,
vemos que o coeficiente quadrático é
. Portanto a constante elástica efetiva é
Para pequenas oscilações em torno do mínimo, a frequência angular é
O período
é
Explicação física curta: a segunda derivada de
em
determina a “rigidez” do poço; o movimento pequeno é aproximadamente harmônico com
(aqui
), daí a fórmula acima.
Passo 5
Resolver (c): determinar
quando
,
, velocidade positiva. Primeiro escrever conservação de energia:
Com
temos
Dessa expressão obtemos a equação diferencial separável para
. Como a velocidade é positiva tomamos a raiz positiva:
Reescrevendo
para separar variáveis:
Integramos ambos os lados. A primitiva de
em
é
. Assim
Impondo a condição inicial
temos
, logo
. Denotando
(apenas para simplificar a escrita), obtemos
Logo a solução explícita para
é, aplicando a função inversa
(também chamada
):
ou seja
Breve comentário sobre
: por definição
, função ímpar e crescente, com comportamento para
dado por
.
Passo 6
Determinar
(item (d)). Podemos derivar a expressão de
ou usar a equação de energia para verificar consistência.
- Derivando
com :
a derivada deé . Aplicando a regra da cadeia,
Como
, obtemos
Substituindo
de volta:
- Checagem rápida por energia: como
, temos . Então da expressão de energia , recuperamos exatamente a mesma expressão para .
Passo 7
Comportamento assintótico e esboços (item (e)). Vamos descrever as formas de
e
e seus comportamentos extremos para ajudar no esboço:
- Comportamento inicial (
): para , . Assim
portanto
começa com crescimento aproximadamente linear, com inclinação inicial
- Comportamento para
: quando . Assim para grande
ou seja
cresce sem limite, mas apenas logaritmicamente (muito mais devagar que linear). Portanto o gráfico de
é crescente, com inclinação que diminui com o tempo.
- Para
, usando a expressão obtida,
Temos
e
quando
. Para
grande,
(substituindo
), então decai como
. Logo o gráfico de
é uma curva positiva, monotonicamente decrescente, partindo de
e aproximando-se de zero.
- Esboços qualitativos:
-
: uma reta quase linear no início, depois curva para cima mais suavemente, crescendo indefinidamente mas cada vez mais devagar (comportamento logarítmico). -
: começa em e decresce continuamente para , com cauda aproximadamente proporcional a .
-
Passo 8
Resumo final das respostas (concisão para conferência rápida). Aqui coloco só as expressões finais pedidas, cada uma em sua linha conforme solicitado.
Resposta
(a) Gráfico: função par com mínimo em
de valor
, tal que
; poço simétrico que tende a
nas duas extremidades.
(b) .
(c) .
(d) .
(e) : crescente, inicialmente quase linear com inclinação
, crescendo lentamente e tendendo a crescer logaritmicamente para
. \nh
: função positiva e monotonicamente decrescente, com
e
quando
(cauda assintótica
).
(b)
(c)
(d)
(e)