Em uma aula de fenômenos de transporte, um professor resolveu demonstrar o princípio da continuidade para os estudantes por meio do esvaziamento de água no interior de uma seringa de 50 mL . Tem-se que o raio do pistão seja igual a
e que o raio do orifício de saída da seringa seja igual a
. Dado que a velocidade do pistão seja igual a
, em quanto tempo o professor irá esvaziar a seringa? Imagine agora que a seringa tem um vazamento por conta de um orifício circular de raio
. Supondo que a velocidade do orifício de saída da seringa continue a mesma, em quanto tempo a seringa seria esvaziada neste caso?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o exercício pede e o que a gente precisa usar.
O problema é sobre uma seringa de 50 mL (ou seja, 50 cm³ de água). O pistão tem raio de 1,5 cm e é empurrado a 1 cm/s. O orifício de saída tem raio de 0,2 cm. Aí a gente quer descobrir em quanto tempo a seringa se esvazia aplicando o princípio da continuidade de fluxo. Depois, imagina que tem um vazamento extra num furinho de raio 0,05 cm e que a velocidade no orifício principal continua a mesma — quanto tempo agora?
Conteúdo: equação da continuidade (vazão = área × velocidade) e cálculo de tempo = volume / vazão. Vamos precisar:
O problema é sobre uma seringa de 50 mL (ou seja, 50 cm³ de água). O pistão tem raio de 1,5 cm e é empurrado a 1 cm/s. O orifício de saída tem raio de 0,2 cm. Aí a gente quer descobrir em quanto tempo a seringa se esvazia aplicando o princípio da continuidade de fluxo. Depois, imagina que tem um vazamento extra num furinho de raio 0,05 cm e que a velocidade no orifício principal continua a mesma — quanto tempo agora?
Conteúdo: equação da continuidade (vazão = área × velocidade) e cálculo de tempo = volume / vazão. Vamos precisar:
- Área de círculo
. - Vazão volumétrica
. - Tempo de esvaziamento
.
Passo 2
Calcular a vazão volumétrica gerada pelo pistão (que é a mesma vazão que sai pelo orifício, no primeiro caso).
- Área do pistão:
- Como o pistão se move a
,cm/s, a vazão é
Passo 3
Descobrir o tempo de esvaziamento na primeira situação.
A gente tem volume total ,cm³ e vazão
,cm³/s.
A gente tem volume total
Passo 4
Agora entra o vazamento extra. Ele tem raio
,cm.
- Área do vazamento:
- O enunciado diz que a velocidade no orifício principal continua a mesma que antes (essa vale
,cm/s, mas a gente já sabe que a vazão principal era 7,07 cm³/s). Se essa velocidade não muda, a vazão extra é
- Vazão total saindo agora:
Passo 5
Calcular o novo tempo de esvaziamento com vazamento.
Resposta
- Sem vazamento: aproximadamente 7,07 s.
- Com o vazamento adicional: aproximadamente 6,66 s.