Em uma aula de fenômenos de transporte, um professor resolveu demonstrar o princípio da continuidade para os estudantes por meio do esvaziamento de água no interior de uma seringa de 50 mL . Tem-se que o raio do pistão seja igual a 1,5 cm e que o raio do orifício de saída da seringa seja igual a 0,2 cm. Dado que a velocidade do pistão seja igual a 1 cm / s, em quanto tempo o professor irá esvaziar a seringa? Imagine agora que a seringa tem um vazamento por conta de um orifício circular de raio 0,05 cm. Supondo que a velocidade do orifício de saída da seringa continue a mesma, em quanto tempo a seringa seria esvaziada neste caso?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o exercício pede e o que a gente precisa usar.
O problema é sobre uma seringa de 50 mL (ou seja, 50 cm³ de água). O pistão tem raio de 1,5 cm e é empurrado a 1 cm/s. O orifício de saída tem raio de 0,2 cm. Aí a gente quer descobrir em quanto tempo a seringa se esvazia aplicando o princípio da continuidade de fluxo. Depois, imagina que tem um vazamento extra num furinho de raio 0,05 cm e que a velocidade no orifício principal continua a mesma — quanto tempo agora?
Conteúdo: equação da continuidade (vazão = área × velocidade) e cálculo de tempo = volume / vazão. Vamos precisar:
  • Área de círculo .
  • Vazão volumétrica .
  • Tempo de esvaziamento .

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica gerada pelo pistão (que é a mesma vazão que sai pelo orifício, no primeiro caso).
  1. Área do pistão:
Apistão ;=; pi,r^2 ;=; pi ,(1,5;cm)^2 ;=; pi times 2,25 ;approx; 7,07;cm^2 ã
  1. Como o pistão se move a Q ;=; Apistão times vpistão ;=; 7,07;cm^2 times 1;cm/s ;=; 7,07;cm^3/s ã,cm/s, a vazão é
ãã

Passo 3

Descobrir o tempo de esvaziamento na primeira situação.
A gente tem volume total t ;=; VQ ;=; 50;cm^37,07;cm^3/s ;approx; 7,07;s ,cm³ e vazão ,cm³/s.

Passo 4

Agora entra o vazamento extra. Ele tem raio Avaz ;=; pi,(0,05;cm)^2 ;=; pi times 0,0025 ;approx; 0,00785;cm^2 ,cm.
  1. Área do vazamento:
Qvaz ;=; Avaz times vorifício ;=; 0,00785;cm^2 times 56,25;cm/s ;approx; 0,44;cm^3/s
  1. O enunciado diz que a velocidade no orifício principal continua a mesma que antes (essa vale
    Qtotal ;=; Qprincipal + Qvaz ;=; 7,07 + 0,44 ;=; 7,51;cm^3/s íí,cm/s, mas a gente já sabe que a vazão principal era 7,07 cm³/s). Se essa velocidade não muda, a vazão extra é
í
  1. Vazão total saindo agora:

Passo 5

Calcular o novo tempo de esvaziamento com vazamento.
tcom vaz ;=; VQtotal ;=; 50;cm^37,51;cm^3/s ;approx; 6,66;s

Resposta

  • Sem vazamento: aproximadamente 7,07 s.
  • Com o vazamento adicional: aproximadamente 6,66 s.

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