- Qual a diferença entre os conceitos de sistema e volume de controle, e como uma abordagem ou outra modifica a formulação do balanço de massa?
- O que representa o princípio da continuidade?
- Tome a parcela referente à taxa de massa através da superfície de controle:
Por que a parcela referente às taxas que entram no volume de controle é negativa, ao passo que as que saem são positivas? Dica 1: Lembre-se da relação entre fluxo e taxa, e qual operação matemática estabelece essa relação. Dica 2: Lembre-se o sentido do vetor área de uma superfície fechada é de dentro para fora.
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo três coisas que batem com “conservação de massa” em mecânica dos fluidos/FTT (Fenômeno de Transporte). A ideia vai ser:
- Entender a diferença entre “sistema” (um monte de massa que se move) e “volume de controle” (uma região fixa no espaço) e como isso muda a forma do balanço de massa.
- Explicar o que é o princípio da continuidade (aquela festa onde massa não surge do nada nem some).
- Justificar por que, na integral
a parcela que entra é negativa e a que sai é positiva.
Pra resolver tudo isso vamos precisar do Teorema do Transporte de Reynolds (que liga sistema ↔ volume de controle), da definição do vetor área (orientado pra fora) e da forma diferencial do balanço de massa (equação de continuidade).
Passo 2
Sistema vs. Volume de Controle
- Sistema: você “segue” a mesma massa (fixa) ao longo do tempo. Nesse caso, o balanço diz simplesmente que a massa do sistema não muda:
- Volume de Controle (VC): você pega uma região fixa no espaço e deixa o fluido entrar ou sair. Aí entra o Teorema de Reynolds:
Ou seja, a mudança de massa dentro do VC é igual à massa que entra menos a que sai.
Então a grande mudança é: no sistema você não tem termo de “acumulação” (massa fica lá dentro sempre), já no VC você tem esse termo.
Passo 3
Princípio da Continuidade
É só a forma diferencial do que falamos acima: “massa se conserva sempre”. Em notação vetorial fica
É só a forma diferencial do que falamos acima: “massa se conserva sempre”. Em notação vetorial fica
Isso significa que, localmente, se a densidade num ponto muda, tem que entrar ou sair fluxo de massa por ali. É a mesma ideia do balanço integral, mas aplicada ponto a ponto.
Passo 4
Por que entrada é negativa e saída positiva?
- Relação fluxo ↔ taxa: o fluxo de massa pela superfície é
. - Vetor área
sempre aponta pra fora do volume de controle. - Se
estiver apontando pra dentro (entrada), . Logo aquela parcela de fluxo é negativa. - Se
sair do VC, .
Para ficar mais claro na somatória a gente define
pra entrada (tornar positiva a taxa que entra é preciso dar um “menos”)
epra saída.
Dessa forma
- Se
já traz o sinal certo de cada parcela.
Resposta
- Sistema acompanha uma massa fixa (sem termo de acumulação), enquanto volume de controle é uma região fixa onde aparece acumulação + termos de fluxo (Reynolds).
- Princípio da continuidade é a conservação de massa local:
- A entrada é negativa porque
aponta para dentro fazendo (visto que aponta pra fora). A saída é positiva pois e têm o mesmo sentido.