1. Qual a diferença entre os conceitos de sistema e volume de controle, e como uma abordagem ou outra modifica a formulação do balanço de massa?
  2. O que representa o princípio da continuidade?
  3. Tome a parcela referente à taxa de massa através da superfície de controle:
integralS C rho u cdot d A=sumi epsiloni rhoi Ai, epsiloni=c +1 saída -1 entrada í
Por que a parcela referente às taxas que entram no volume de controle é negativa, ao passo que as que saem são positivas? Dica 1: Lembre-se da relação entre fluxo e taxa, e qual operação matemática estabelece essa relação. Dica 2: Lembre-se o sentido do vetor área de uma superfície fechada é de dentro para fora.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo três coisas que batem com “conservação de massa” em mecânica dos fluidos/FTT (Fenômeno de Transporte). A ideia vai ser:
  1. Entender a diferença entre “sistema” (um monte de massa que se move) e “volume de controle” (uma região fixa no espaço) e como isso muda a forma do balanço de massa.
  2. Explicar o que é o princípio da continuidade (aquela festa onde massa não surge do nada nem some).
  3. Justificar por que, na integral integralSC rho,vec ucdot dvec A = sumi epsiloni,rhoi,Ai, epsiloni = +1 & saída, -1 & entrada, ía parcela que entra é negativa e a que sai é positiva.
    Pra resolver tudo isso vamos precisar do Teorema do Transporte de Reynolds (que liga sistema ↔ volume de controle), da definição do vetor área (orientado pra fora) e da forma diferencial do balanço de massa (equação de continuidade).

Passo 2

Sistema vs. Volume de Controle
  • Sistema: você “segue” a mesma massa (fixa) ao longo do tempo. Nesse caso, o balanço diz simplesmente que a massa do sistema não muda: d mrm sistemadt = 0
  • Volume de Controle (VC): você pega uma região fixa no espaço e deixa o fluido entrar ou sair. Aí entra o Teorema de Reynolds: ddt!integralVC rho,dV + integralSC rho,vec ucdot dvec A = 0 Ou seja, a mudança de massa dentro do VC é igual à massa que entra menos a que sai.
    Então a grande mudança é: no sistema você não tem termo de “acumulação” (massa fica lá dentro sempre), já no VC você tem esse termo .

Passo 3

Princípio da Continuidade
É só a forma diferencial do que falamos acima: “massa se conserva sempre”. Em notação vetorial fica
partial rhopartial t + nabla!cdot(rho,vec u) = 0
Isso significa que, localmente, se a densidade num ponto muda, tem que entrar ou sair fluxo de massa por ali. É a mesma ideia do balanço integral, mas aplicada ponto a ponto.

Passo 4

Por que entrada é negativa e saída positiva?
  1. Relação fluxo ↔ taxa: o fluxo de massa pela superfície é integralSCrho,vec ucdot dvec A = sumi epsiloni,rhoi,Ai .
  2. Vetor área sempre aponta pra fora do volume de controle.
    • Se estiver apontando pra dentro (entrada), . Logo aquela parcela de fluxo é negativa.
    • Se sair do VC, .
      Para ficar mais claro na somatória a gente define
      pra entrada (tornar positiva a taxa que entra é preciso dar um “menos”)
      e pra saída.
      Dessa forma
já traz o sinal certo de cada parcela.

Resposta

  1. Sistema acompanha uma massa fixa (sem termo de acumulação), enquanto volume de controle é uma região fixa onde aparece acumulação + termos de fluxo (Reynolds).
  2. Princípio da continuidade é a conservação de massa local:
  3. A entrada é negativa porque aponta para dentro fazendo (visto que aponta pra fora). A saída é positiva pois e têm o mesmo sentido.

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