Tem-se uma tubulação de seção transversal circular constante através da qual está escoando um determinado fluido. A partir de análises do escoamento foram obtidos dois perfis de velocidade para dois regimes distintos 1 e 2 , respectivamente:
v1=v1max (1-r^2R^2) v2=v2max (1-rR)^0,2
Determine para os dois perfis a velocidade média, bem como as vazões para cada caso, dado que o raio da secção transversal seja igual a 10 cm .

Passo 1

Beleza, o problema diz o seguinte: temos um cano circular de raio v1(r)=v1maxl(1-r^2R^2r) e v2(r)=v2maxl(1-rRr)^0,2 e dois regimes de escoamento com perfis de velocidade dados por
bar v=1AintegralA v,dA com dA=2pi r,dr e A=pi R^2
O que a gente quer encontrar é (a) a velocidade média em cada caso e (b) a vazão .
Conteúdo: conceito de velocidade média num escoamento radial e cálculo de integrais em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar usar

Passo 2

Perfil 1: bar v1 =1pi R^2integral0^R v1(r),2pi r,dr =2R^2integral0^R v1maxl(1-r^2R^2r)r,dr .
  1. A velocidade média fica
integral0^Rl(1-r^2R^2r)r,dr =integral0^R r,dr-1R^2integral0^R r^3,dr =R^22-R^44R^2 =R^24
  1. Vamos resolver a integral:
bar v1 =2,v1maxR^2cdotR^24 =v1max2
  1. Logo
Q1=A,bar v1 =pi R^2cdotv1max2
  1. A vazão é

Passo 3

Perfil 2: bar v2 =2R^2integral0^R v2maxl(1-rRr)^0,2r,dr =2v2maxintegral0^1 x,(1-x)^0,2,dx, .
  1. Mesma ideia:
bar v2 =2,v2maxcdot12,64 =22,64,v2max approx0,7576,v2max
onde fizemos Q2 =pi R^2,bar v2 =pi R^2cdot22,64,v2max .
2) A integral é . Aqui , então .
3) Logo
  1. A vazão :

Resposta

Velocidades médias:
boxedbar v1=v1max2, bar v2=22,64,v2maxapprox0,7576,v2max
Vazões (com boxedQ1=pi R^2v1max2, Q2=pi R^222,64,v2max, ):

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