A comporta retangular de uma barragem mede 3 m de altura e 2 m de largura, e faz 30^circ com a vertical. A parte inferior se localiza a 1 / 2 m do fundo da barragem, que tem uma altura total de água de20 m. Calcule a força que a água exerce sobre a comporta e a posição da aplicação da força (o peso específico de água gammaa g u a=1000 kg / m^3 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma comporta retangular inclinada a 30° da vertical, com 3 m de altura e 2 m de largura. O fundo do lago está a 20 m de profundidade, e a parte de baixo da comporta fica 0,5 m acima do fundo. Queremos descobrir:
  1. a força hidrostática resultante sobre essa comporta,
  2. a profundidade (posição) onde essa força “age” (o centro de pressão).
O que a gente vai usar de teoria:
  • Princípio básico de pressão em fluido parado: .
  • Força resultante em superfície plana inclinada:
    ,
    em que é a área da comporta e a profundidade do seu centroide (medida vertical do espelho d’água até o centroide).
  • Para achar o centro de pressão, precisamos da fórmula
    ,
    onde é o momento de inércia da área em relação a um eixo horizontal que passa pelo centroide.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da comporta e o peso específico da água:
Área .
Como nos deram densidade , tomamos .

Passo 3

Precisamos achar a profundidade do centroide .
  1. Profundidade do bordo inferior da comporta:
    .
  2. A projeção vertical da altura da comporta é . Logo o bordo superior está em
    .
  3. O centroide de um retângulo está na metade da altura, então a profundidade média é
    .

Passo 4

Agora a força resultante:
F=gamma,A,hc = 9810;rm Nrm m^3times6;rm m^2times18,201;rm m approx1,07times10^6 rm N ,

Passo 5

Falta achar o centro de pressão, usando
yp = hc + IGA,hc,
Para um retângulo inclinado de altura IG = b,L^3cos^2phi12, e largura IG = 2;times3^3;times(cos30°)^212 = 2times27times0,7512 =3,375 rm m^4 , o momento de inércia em relação ao eixo horizontal pelo centroide é
yp = 18,201 + 3,3756times18,201 approx18,201 +0,031 =18,232 rm m
onde é o ângulo do plano da comporta em relação à vertical.
Substituindo , :
Logo
Ou seja, o ponto de aplicação da força está a 18,232 m de profundidade da superfície livre.

Resposta

Força resultante ,
aplicada a uma profundidade abaixo da superfície livre.

Exercícios relacionados