Em sala de aula foi deduzida a expressão para o campo elétrico no eixo de um anel de raio R e carga total q, distribuída uniformemente com densidade linear \lambda=q /(2 \pi R). Para um ponto situado no eixo z, a uma distância z do centro do anel, o campo resultante é dado por
E(z)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q z}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} .
a) Determine em que posição z ao longo do eixo o campo elétrico atinge o seu valor máximo.
b) Mostre que o valor do campo elétrico máximo (portanto, nesse ponto) é
E_{\max }=\frac{2}{3 \sqrt{3}} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R^{2}}
c) Faça um gráfico representado o campo elétrico em função de z.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico no eixo de um anel de raio R e carga total q uniformemente distribuída, que em um ponto a uma distância z do centro vale
E(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q\,z}{\bigl(R^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}.
Pede-se:
a) a posição z de máximo de E(z);
b) o valor E_{\max} nessa posição;
c) um esboço de E em função de z.

Passo 2

Para achar o máximo, derivamos E(z) em relação a z e igualamos a zero. Como o fator constante \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}q não altera o ponto crítico, estudamos
f(z)=\frac{z}{\bigl(R^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}.
Calculamos
f'(z) =\frac{(R^{2}+z^{2})^{3/2}-z\cdot\frac{3}{2}(R^{2}+z^{2})^{1/2}\cdot2z}{(R^{2}+z^{2})^{3}} =\frac{R^{2}-2z^{2}}{(R^{2}+z^{2})^{5/2}}.
Igualando f'(z)=0 obtém-se
R^{2}-2z^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad z^{2}=\frac{R^{2}}{2} \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{R}{\sqrt{2}}
(considerando z\ge0).

Passo 3

Substituindo z=R/\sqrt{2} em E(z):
E_{\max} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\; \frac{q\,(R/\sqrt{2})}{\bigl(R^{2}+(R/\sqrt{2})^{2}\bigr)^{3/2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\; \frac{q\,R/\sqrt{2}}{\bigl(\tfrac{3}{2}R^{2}\bigr)^{3/2}}.
Como
\bigl(\tfrac{3}{2}R^{2}\bigr)^{3/2} =\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{3/2}R^{3} =\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\,R^{3},
segue
E_{\max} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\; \frac{q\,R/\sqrt{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\,R^{3}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\; \frac{2}{3\sqrt{3}}\;\frac{q}{R^{2}}.

Passo 4

Para o gráfico de E(z) versus z:
– em z=0, E(0)=0;
– cresce até o pico em z=R/\sqrt{2};
– para z\gg R, decai como E\sim z/(z^{3})=1/z^{2}.
O esboço mostra uma curva que parte de zero, atinge máximo em z=R/\sqrt{2} e depois decresce assintoticamente.

Resposta

(a) \displaystyle z=\frac{R}{\sqrt{2}}.
(b) \displaystyle E_{\max}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\;\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q}{R^{2}}.
(c) Gráfico qualitativo: curva que começa em E(0)=0, cresce até z=R/\sqrt{2} e depois decresce como \sim1/z^{2}.

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