Considere uma distribuição esférica de carga de raio a cuja densidade volumétrica de carga é descrita por \rho(\mathrm{r})=\rho_{0}\left(1-r^{2} / a^{2}\right), para 0 \leq \mathrm{r} \leq \mathrm{a}, e por \rho(\mathrm{r})=0 para \mathrm{a}<\mathrm{r}<\infty, em que \rho_{0} é uma constante com dimensões de carga/volume { }^{2}. Mostre que a carga total vale 2 / 5 da carga que a esfera teria se a densidade de carga fosse uniforme e valesse \rho_{0}. Calcule o campo elétrico em um ponto fora da distribuição.

  1. { }^{2} Lembre-se que se \rho=\frac{d q}{d V}, então \mathrm{q}=\int \rho d V, em que a integral deve ser resolvida sob todo volume.

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de carga esférica de raio a cuja densidade volumétrica depende apenas de r:
\rho(r)=\rho_{0}\bigl(1 - r^{2}/a^{2}\bigr) para 0\le r\le a e zero para r>a.
Queremos (i) obter a carga total Q dessa distribuição e mostrar que ela vale 2/5 da carga que teríamos se \rho fosse uniformemente igual a \rho_{0}, e (ii) calcular o campo elétrico num ponto externo ( r>a).
Usaremos integração em coordenadas esféricas para Q e a Lei de Gauss para E.

Passo 2

A carga total é
Q \;=\;\int_{\text{volume}}\rho(r)\,dV
em coordenadas esféricas dV=4\pi r^{2}dr, logo
Q \;=\; \int_{0}^{a}\rho_{0}\Bigl(1-\frac{r^{2}}{a^{2}}\Bigr)\,4\pi r^{2}\,dr =\;4\pi\rho_{0}\Bigl[\int_{0}^{a}r^{2}dr \;-\;\frac{1}{a^{2}}\int_{0}^{a}r^{4}dr\Bigr].
Calculamos as integrais:
\int_{0}^{a}r^{2}dr = \frac{a^{3}}{3}, \quad \int_{0}^{a}r^{4}dr = \frac{a^{5}}{5}.
Logo
Q = 4\pi\rho_{0}\Bigl(\frac{a^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{5}\Bigr) =4\pi\rho_{0}a^{3}\,\frac{2}{15} =\frac{8\pi\rho_{0}a^{3}}{15}.

Passo 3

A carga de uma esfera uniforme de densidade \rho_{0} seria
Q_{\rm uniform} = \rho_{0}\,\frac{4}{3}\pi a^{3} = \frac{4\pi\rho_{0}a^{3}}{3}.
Comparando,
\frac{Q}{Q_{\rm uniform}} =\frac{\tfrac{8\pi\rho_{0}a^{3}}{15}}{\tfrac{4\pi\rho_{0}a^{3}}{3}} =\frac{8/15}{4/3} =\frac{8}{15}\cdot\frac{3}{4} =\frac{2}{5}.
Portanto a carga total vale \tfrac{2}{5} da carga da esfera uniforme.

Passo 4

Para r>a usamos a Lei de Gauss. A superfície gaussiana esférica de raio r envolve toda a carga Q, então
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{Q}{\varepsilon_{0}}.
Isolando E(r),
E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{r^{2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{\tfrac{8\pi\rho_{0}a^{3}}{15}}{r^{2}} =\frac{2\,\rho_{0}\,a^{3}}{15\,\varepsilon_{0}}\;\frac{1}{r^{2}} \quad(\hat{r}).

Resposta

A carga total é
Q = \frac{8\pi\rho_{0}a^{3}}{15} =\frac{2}{5}\Bigl(\rho_{0}\,\tfrac{4\pi a^{3}}{3}\Bigr).
Para r>a, o campo elétrico é
E(r) =\frac{2\,\rho_{0}\,a^{3}}{15\,\varepsilon_{0}}\;\frac{1}{r^{2}}\;\hat{r}.

Exercícios relacionados