Considere uma distribuição esférica de carga de raio a cuja densidade volumétrica de carga é descrita por
, para
, e por
para
, em que
é uma constante com dimensões de carga/volume
. Mostre que a carga total vale
da carga que a esfera teria se a densidade de carga fosse uniforme e valesse
. Calcule o campo elétrico em um ponto fora da distribuição.
-
Lembre-se que se
, então
, em que a integral deve ser resolvida sob todo volume.
Lembre-se que se , então , em que a integral deve ser resolvida sob todo volume.
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição de carga esférica de raio
cuja densidade volumétrica depende apenas de
:
para
e zero para
.
Queremos (i) obter a carga total dessa distribuição e mostrar que ela vale
da carga que teríamos se
fosse uniformemente igual a
, e (ii) calcular o campo elétrico num ponto externo (
).
Usaremos integração em coordenadas esféricas para e a Lei de Gauss para
.
Queremos (i) obter a carga total
Usaremos integração em coordenadas esféricas para
Passo 2
A carga total é
em coordenadas esféricas
, logo
Calculamos as integrais:
Logo
Passo 3
A carga de uma esfera uniforme de densidade
seria
Comparando,
Portanto a carga total vale
da carga da esfera uniforme.
Passo 4
Para
usamos a Lei de Gauss. A superfície gaussiana esférica de raio
envolve toda a carga
, então
Isolando
,
Resposta
A carga total é
Para
, o campo elétrico é