Nas aulas, você viu mais uma regra de derivação: a regra da cadeia. Cada linha da tabela abaixo é uma escrita da regra da cadeia, em diferentes notações.
Regra da cadeia
Se
, então
Se
, então
Utilize essa em conjunto com as tabelas das listas de exercícios 2.5 e 2.6 .
Nos itens abaixo, identifique funções
e
de modo que
.
Nota: cada item dessa questão pode ter mais de uma solução correta.
(b)
.
| Regra da cadeia |
| Se
|
| Se
|
|
|
|
|
Nos itens abaixo, identifique funções
Nota: cada item dessa questão pode ter mais de uma solução correta.
(b)
Passo 1
O enunciado pede que eu identifique funções
e
tais que
.
A única informação dada é
A única informação dada é
Ou seja: encontre uma decomposição por composição de funções que reproduza essa expressão. Cada item pode ter mais de uma resposta válida.
Passo 2
O que significa escrever
? Vou explicar devagarinho.
- Pense em
como uma expressão que depende de . - Pense em
como uma função cujo argumento é um símbolo genérico .
Quando você compõe, substituipor em . Exemplo simples: se e , então
Ou seja, para achar
e
eu observo qual é a “operação externa” (o que acontece por último) e qual é a “operação interna” (o que está dentro).
Passo 3
Breve lembrete da regra da cadeia (útil para a prova): se
, então
Aqui
é a derivada de
em relação ao seu argumento
, e
é a derivada de
em relação a
. A interpretação prática: deriva a função externa avaliando-a na interna e multiplica pela derivada da interna.
Passo 4
Estratégia para este
: identificar a operação que ocorre por último. Na expressão
o que acontece por último é elevar à quarta potência. Então a função externa natural é uma potência quarta aplicada a algum argumento. A parte dentro do parêntese,
, será a função interna.
Escolha natural:
Verificação (substituir
em
):
logo está correto.
Passo 5
Para fixar na prova, mostro também como calcular a derivada usando essa escolha (passo a passo, sem pular contas):
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
,
Mostrei isso para você ver o uso prático da decomposição — na prova escolha
como a operação externa e
como o que fica dentro.
Passo 6
Observação importante: existem outras decomposições igualmente válidas — todas que, ao compor, devolvam
. Alguns exemplos alternativos (válidos):
- Tome
e . Então . - Tome
e . Então .
Todas essas estão corretas; a escolha mais direta e mais usada é
e
porque reflete exatamente “potência por fora, soma e polinômio por dentro”.