Nas aulas, você viu mais uma regra de derivação: a regra da cadeia. Cada linha da tabela abaixo é uma escrita da regra da cadeia, em diferentes notações.
Regra da cadeia
Se h(x)=(f \circ g)(x), então h^{\prime}(x)=\left(f^{\prime} \circ g\right)(x) g^{\prime}(x)
Se h(x)=f(g(x)), então h^{\prime}(x)=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)
(u \circ v)^{\prime}=\left(u^{\prime} \circ v\right) v^{\prime}
\frac{d u}{d t}=\frac{d u}{d x} \frac{d x}{d t}
Utilize essa em conjunto com as tabelas das listas de exercícios 2.5 e 2.6 .
Nos itens abaixo, identifique funções f e g de modo que h(x)=f(g(x)).
Nota: cada item dessa questão pode ter mais de uma solução correta.
(b) h(x)=\left(2 x^{3}+5\right)^{4}.

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique funções f e g tais que h(x)=f(g(x)).
A única informação dada é
h(x)=\left(2x^{3}+5\right)^{4}.
Ou seja: encontre uma decomposição por composição de funções que reproduza essa expressão. Cada item pode ter mais de uma resposta válida.

Passo 2

O que significa escrever h(x)=f(g(x))? Vou explicar devagarinho.
  • Pense em g(x) como uma expressão que depende de x.
  • Pense em f(u) como uma função cujo argumento é um símbolo genérico u.
    Quando você compõe, substitui u por g(x) em f. Exemplo simples: se f(u)=u^{2} e g(x)=x+1, então
f(g(x))=(x+1)^{2}.
Ou seja, para achar f e g eu observo qual é a “operação externa” (o que acontece por último) e qual é a “operação interna” (o que está dentro).

Passo 3

Breve lembrete da regra da cadeia (útil para a prova): se h(x)=f(g(x)), então
h'(x)=f'(g(x))\;g'(x).
Aqui f'(u) é a derivada de f em relação ao seu argumento u, e g'(x) é a derivada de g em relação a x. A interpretação prática: deriva a função externa avaliando-a na interna e multiplica pela derivada da interna.

Passo 4

Estratégia para este h(x): identificar a operação que ocorre por último. Na expressão \left(2x^{3}+5\right)^{4} o que acontece por último é elevar à quarta potência. Então a função externa natural é uma potência quarta aplicada a algum argumento. A parte dentro do parêntese, 2x^{3}+5, será a função interna.
Escolha natural:
f(u)=u^{4}, \qquad g(x)=2x^{3}+5.
Verificação (substituir u=g(x) em f):
f(g(x))=(g(x))^{4}=\left(2x^{3}+5\right)^{4}=h(x),
logo está correto.

Passo 5

Para fixar na prova, mostro também como calcular a derivada usando essa escolha (passo a passo, sem pular contas):
  • Derivada de f(u)=u^{4} em relação a u é f'(u)=4u^{3}.
  • Derivada de g(x)=2x^{3}+5 em relação a x é g'(x)=6x^{2}.
    Aplicando a regra da cadeia:
h'(x)=f'(g(x))\,g'(x)=4\big(g(x)\big)^{3}\cdot 6x^{2}.
Substituindo g(x)=2x^{3}+5,
h'(x)=4\big(2x^{3}+5\big)^{3}\cdot 6x^{2}=24x^{2}\big(2x^{3}+5\big)^{3}.
Mostrei isso para você ver o uso prático da decomposição — na prova escolha f como a operação externa e g como o que fica dentro.

Passo 6

Observação importante: existem outras decomposições igualmente válidas — todas que, ao compor, devolvam \left(2x^{3}+5\right)^{4}. Alguns exemplos alternativos (válidos):
  • Tome g_{1}(x)=x^{3} e f_{1}(u)=(2u+5)^{4}. Então f_{1}(g_{1}(x))=(2x^{3}+5)^{4}.
  • Tome g_{2}(x)=2x^{3} e f_{2}(u)=(u+5)^{4}. Então f_{2}(g_{2}(x))=(2x^{3}+5)^{4}.
Todas essas estão corretas; a escolha mais direta e mais usada é f(u)=u^{4} e g(x)=2x^{3}+5 porque reflete exatamente “potência por fora, soma e polinômio por dentro”.

Resposta

f(u)=u^{4},\; g(x)=2x^{3}+5
f(u)=(2u+5)^{4},\; g(x)=x^{3}
f(u)=(u+5)^{4},\; g(x)=2x^{3}

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