Determine a derivada das funções abaixo.
(g) f(x)=\cos ^{3} x.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função f dada por
f(x)=\cos^{3} x.
Informações relevantes: a função é a potência de ordem 3 da função \cos x; ou seja, f(x)=(\cos x)^3. A tarefa é encontrar f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Perceba que f é uma função composta: há uma função externa que é a potência cúbica e uma função interna que é o cosseno. Para tornar isso claro, fazemos a substituição auxiliar
u(x)=\cos x,
então
f(x)=u(x)^3.
Explicar isso ajuda porque podemos usar regras conhecidas (como a regra da cadeia) de maneira organizada: trataremos primeiro a derivada da parte externa em função de u e depois multiplicaremos pela derivada da parte interna u(x).

Passo 3

Apresento a regra da cadeia (em linguagem clara): se temos uma função composta f(x)=g(h(x)), então a derivada é dada por
\frac{d}{dx}g(h(x))=g'(h(x))\cdot h'(x).
Aqui g é a função externa, h é a função interna, g' é a derivada de g em relação ao seu argumento, e h' é a derivada de h em relação a x. Em nosso caso, g(u)=u^3 e h(x)=u(x)=\cos x.

Passo 4

Vamos lembrar duas regras básicas que usaremos:
  1. Regra da potência (para função externa): se g(u)=u^n, então
g'(u)=n u^{n-1}.
No nosso caso com n=3, isso dá g'(u)=3u^2.
2. Derivada do cosseno (função interna): é conhecida que
\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x.
Aqui \sin x é a função seno; a derivada do cosseno é negativa do seno.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia passo a passo usando u=\cos x.
Primeiro a derivada da parte externa em função de u é
\frac{d}{du}u^3 = 3u^2.
Depois a derivada da parte interna é
\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x.
Pela regra da cadeia:
f'(x)=\frac{d}{dx}(\cos x)^3 = \frac{d}{du}u^3\Big|_{u=\cos x}\cdot \frac{d}{dx}\cos x = 3(\cos x)^2\cdot(-\sin x).
Simplificando o sinal,
f'(x)=-3\cos^{2}x\;\sin x.

Passo 6

Interpretação prática para a prova: ao ver algo do tipo \cos^{3}x ou qualquer (\text{alguma função})^{n}çã, pense imediatamente em usar a regra da cadeia — derive a potência (trazendo o expoente multiplicando e diminuindo o expoente em 1) e multiplique pela derivada da função interna. Isso evita confusão e é rápido de aplicar.

Resposta

-3\cos^{2}x\sin x

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