Aumentando um número
de 16 unidades, seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 unidades. Qual o valor de x ?
Passo 1
O enunciado diz: “Aumentando um número
de 16 unidades, seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 unidades.”
Pergunta: qual é o valor de ?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Pergunta: qual é o valor de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Ao aumentar
em , obtemos . - O logaritmo na base 3 de
é 2 unidades maior que o logaritmo na base 3 de . - Domínio: como aparece
, precisamos de .
Passo 2
Vamos traduzir a frase em uma equação com logaritmos. A afirmação "o logaritmo na base 3 de
é 2 unidades maior que o de
" vira:
Esta é a equação que vamos resolver, lembrando que devemos ter
.
Passo 3
Agora vou usar propriedades básicas de logaritmos — explicando com calma:
- Definição/identidade:
porque . Ou seja, o número 2 é exatamente o logaritmo na base 3 de 9. - Propriedade da soma de logaritmos:
. Isso vale para e .
Aplicando essas ideias à equação
, substituímos
por
(já que são iguais) e usamos a propriedade da soma:
Passo 4
Se
, e sabendo que a função
é injetora (ou seja, valores iguais de log implicam argumentos iguais quando a base é fixa e válida), então os argumentos devem ser iguais:
Agora resolvemos essa equação linear simples. Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Verificação rápida para ter certeza e ficar tranquilo: substituindo
na equação original,
e
portanto a igualdade é satisfeita. Além disso
, então está no domínio permitido.