Aumentando um número x de 16 unidades, seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 unidades. Qual o valor de x ?

Passo 1

O enunciado diz: “Aumentando um número x de 16 unidades, seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 unidades.”
Pergunta: qual é o valor de x?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Ao aumentar x em 16, obtemos x+16.
  • O logaritmo na base 3 de x+16 é 2 unidades maior que o logaritmo na base 3 de x.
  • Domínio: como aparece \log_3(x), precisamos de x>0.

Passo 2

Vamos traduzir a frase em uma equação com logaritmos. A afirmação "o logaritmo na base 3 de x+16 é 2 unidades maior que o de x" vira:
\log_3(x+16)=\log_3(x)+2.
Esta é a equação que vamos resolver, lembrando que devemos ter x>0.

Passo 3

Agora vou usar propriedades básicas de logaritmos — explicando com calma:
  • Definição/identidade: \log_3(9)=2 porque 3^2=9. Ou seja, o número 2 é exatamente o logaritmo na base 3 de 9.
  • Propriedade da soma de logaritmos: \log_3(A)+\log_3(B)=\log_3(A\cdot B). Isso vale para A>0 e B>0.
Aplicando essas ideias à equação \log_3(x+16)=\log_3(x)+2, substituímos 2 por \log_3(9) (já que são iguais) e usamos a propriedade da soma:
\log_3(x+16)=\log_3(x)+\log_3(9)=\log_3(9x).

Passo 4

Se \log_3(x+16)=\log_3(9x), e sabendo que a função \log_3 é injetora (ou seja, valores iguais de log implicam argumentos iguais quando a base é fixa e válida), então os argumentos devem ser iguais:
x+16=9x.
Agora resolvemos essa equação linear simples. Subtraindo x dos dois lados:
16=8x.
Dividindo ambos os lados por 8:
x=2.

Passo 5

Verificação rápida para ter certeza e ficar tranquilo: substituindo x=2 na equação original,
\log_3(2+16)=\log_3(18)
e
\log_3(2)+2=\log_3(2)+\log_3(9)=\log_3(18),
portanto a igualdade é satisfeita. Além disso x=2>0, então está no domínio permitido.

Resposta

x=2

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