Ao passar a limpo seu caderno de matemática, um aluno deparou-se com a seguinte expressão:
Embora a base b estivesse borrada, o aluno lembrava-se que b era um número natural de um algarismo. Determine o valor de b.
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e diz que
é um número natural de um algarismo (ou seja,
). A tarefa é determinar qual é esse
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa uma logaritmo: a expressão
significa, por definição, que
Então, se soubéssemos
, podemos escrever
No nosso caso
, então uma forma direta seria calcular
. Mas em prova rápida é mais útil usar propriedades dos logaritmos e comparações entre bases inteiras.
Passo 3
Uma propriedade importante é que, para
,
onde
é o logaritmo natural. Como
cresce quando
cresce, isso faz com que
seja uma função decrescente de
(para
). Em palavras: quanto maior a base
, menor é
. Portanto podemos comparar o valor dado
com os valores de
para bases inteiras conhecidas para localizar
.
Passo 4
Calculemos alguns valores de
para bases inteiras simples (tudo em aproximação decimal):
- Para
: . - Para
: (porque e ). - Para
: (porque ).
Observamos queé maior que o valor dado . Como a função é decrescente em , isso nos diz que a base procurada é maior que .
Entre os naturais de um algarismo maiores que
só resta
. Vamos verificar se
realmente produz o valor dado.
Passo 5
Verificação para
. Use a propriedade de mudança de base e potências:
, então
Se multiplicarmos o número dado por
obtemos
Esse
é exatamente (a truncatura decimal) do valor de
conhecido, portanto
isto é, coincide com o valor dado no enunciado (até os dígitos fornecidos). Assim
é compatível e, pela comparação monotônica anterior, é a única base natural de um algarismo que pode ser.
Passo 6
Conclusão lógica: entre os inteiros de 1 a 9 só
faz com que
seja aproximadamente
. Verificamos numericamente que
de fato produz esse número (pela relação com
).
Resposta
9