Ao passar a limpo seu caderno de matemática, um aluno deparou-se com a seguinte expressão:
\log _{b} 2=0,3154648
Embora a base b estivesse borrada, o aluno lembrava-se que b era um número natural de um algarismo. Determine o valor de b.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\log_{b} 2 = 0,3154648
e diz que b é um número natural de um algarismo (ou seja, b\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}). A tarefa é determinar qual é esse b.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa uma logaritmo: a expressão
\log_{b} 2 = x
significa, por definição, que
b^{x}=2.
Então, se soubéssemos x, podemos escrever
b = 2^{1/x}.
No nosso caso x=0,3154648, então uma forma direta seria calcular 2^{1/0,3154648}. Mas em prova rápida é mais útil usar propriedades dos logaritmos e comparações entre bases inteiras.

Passo 3

Uma propriedade importante é que, para b>1,
\log_{b}2=\frac{\ln 2}{\ln b},
onde \ln é o logaritmo natural. Como \ln b cresce quando b cresce, isso faz com que \log_{b}2 seja uma função decrescente de b (para b>1). Em palavras: quanto maior a base b, menor é \log_{b}2. Portanto podemos comparar o valor dado 0,3154648 com os valores de \log_{b}2 para bases inteiras conhecidas para localizar b.

Passo 4

Calculemos alguns valores de \log_{b}2 para bases inteiras simples (tudo em aproximação decimal):
  • Para b=2: \log_{2}2=1.
  • Para b=4: \log_{4}2=\tfrac{1}{2}=0,5 (porque 4=2^{2} e \log_{2^{2}}2=\tfrac{1}{2}\log_{2}2).
  • Para b=8: \log_{8}2=\tfrac{1}{3}\approx 0,3333333 (porque 8=2^{3}).
    Observamos que \tfrac{1}{3}=0,3333333 é maior que o valor dado 0,3154648. Como a função é decrescente em b, isso nos diz que a base procurada b é maior que 8.
Entre os naturais de um algarismo maiores que 8 só resta b=9. Vamos verificar se b=9 realmente produz o valor dado.

Passo 5

Verificação para b=9. Use a propriedade de mudança de base e potências: 9=3^{2}, então
\log_{9}2=\log_{3^{2}}2=\frac{1}{2}\log_{3}2.
Se multiplicarmos o número dado por 2 obtemos
2\cdot 0,3154648 = 0,6309296.
Esse 0,6309296 é exatamente (a truncatura decimal) do valor de \log_{3}2 conhecido, portanto
\log_{9}2=\tfrac{1}{2}\log_{3}2\approx\tfrac{1}{2}\cdot 0,6309296 = 0,3154648,
isto é, coincide com o valor dado no enunciado (até os dígitos fornecidos). Assim b=9 é compatível e, pela comparação monotônica anterior, é a única base natural de um algarismo que pode ser.

Passo 6

Conclusão lógica: entre os inteiros de 1 a 9 só b=9 faz com que \log_{b}2 seja aproximadamente 0,3154648. Verificamos numericamente que \log_{9}2 de fato produz esse número (pela relação com \log_{3}2).

Resposta

9

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