No sistema
o valor de
é igual a:
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede o valor de
.
Informações relevantes: a primeira equação relaciona potências de (pois
e
são potências de
); a segunda define
como um logaritmo na base
do número
. Nosso objetivo é encontrar
e
e somá-los.]
Informações relevantes: a primeira equação relaciona potências de
Passo 2
Vamos trabalhar a primeira equação. Primeiro vou reescrever raízes como potências:
e
. Substituindo na equação temos
Aqui usei a propriedade de potências
. Essa propriedade diz que elevar uma potência a outra multiplica os expoentes.
Passo 3
Aplicando a propriedade
à expressão do passo anterior, obtemos
Como a base
é positiva e diferente de
, duas potências de base
são iguais se e somente se os expoentes forem iguais. Portanto
Passo 4
Resolvendo
multiplicando ambos os lados por
, temos
Então já encontramos
. (Dica rápida: sempre que você tiver
, pode passar para
.)
Passo 5
Agora usamos a segunda equação
. Substituindo
obtemos
Lembre:
é o expoente ao qual
deve ser elevado para obter
.
Passo 6
Vamos simplificar o argumento do logaritmo
. Escrevendo em potências de
:
logo
Substituindo no logaritmo:
Passo 7
Para calcular
use a mudança de base ou a propriedade de logaritmos quando a base e o argumento são potências da mesma base. Como
, podemos usar
Explicando:
porque
. Assim obtemos
.
Passo 8
Agora somamos
e
:
Colocando em denominador comum:
Verificação rápida:
e
, então está consistente.