No sistema \left\{\begin{array}{l}(\sqrt[8]{2})^{x}=\sqrt{2} \\\ \log _{x}(4 \sqrt{2})=y\end{array}\right. o valor de x+y é igual a:

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} (\sqrt[8]{2})^{x}=\sqrt{2},\\[4pt] \log_{x}(4\sqrt{2})=y, \end{cases}
e pede o valor de x+y.
Informações relevantes: a primeira equação relaciona potências de 2 (pois \sqrt[8]{2} e \sqrt{2} são potências de 2); a segunda define y como um logaritmo na base x do número 4\sqrt{2}. Nosso objetivo é encontrar x e y e somá-los.]

Passo 2

Vamos trabalhar a primeira equação. Primeiro vou reescrever raízes como potências: \sqrt[8]{2}=2^{1/8} e \sqrt{2}=2^{1/2}. Substituindo na equação temos
\bigl(2^{1/8}\bigr)^{x}=2^{1/2}.
Aqui usei a propriedade de potências \bigl(a^{m}\bigr)^{n}=a^{mn}. Essa propriedade diz que elevar uma potência a outra multiplica os expoentes.

Passo 3

Aplicando a propriedade \bigl(a^{m}\bigr)^{n}=a^{mn} à expressão do passo anterior, obtemos
2^{x/8}=2^{1/2}.
Como a base 2 é positiva e diferente de 1, duas potências de base 2 são iguais se e somente se os expoentes forem iguais. Portanto
\frac{x}{8}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Resolvendo \dfrac{x}{8}=\dfrac{1}{2} multiplicando ambos os lados por 8, temos
x=8\cdot\frac{1}{2}=4.
Então já encontramos x=4. (Dica rápida: sempre que você tiver (a^{p})^{x}=a^{q}, pode passar para px=q.)

Passo 5

Agora usamos a segunda equação \log_{x}(4\sqrt{2})=y. Substituindo x=4 obtemos
y=\log_{4}\bigl(4\sqrt{2}\bigr).
Lembre: \log_{a}(b) é o expoente ao qual a deve ser elevado para obter b.

Passo 6

Vamos simplificar o argumento do logaritmo 4\sqrt{2}. Escrevendo em potências de 2:
4=2^{2},\qquad \sqrt{2}=2^{1/2},
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4\sqrt{2}=2^{2}\cdot 2^{1/2}=2^{2+1/2}=2^{5/2}.
Substituindo no logaritmo:
y=\log_{4}\bigl(2^{5/2}\bigr).

Passo 7

Para calcular y=\log_{4}\bigl(2^{5/2}\bigr) use a mudança de base ou a propriedade de logaritmos quando a base e o argumento são potências da mesma base. Como 4=2^{2}, podemos usar
\log_{2^{2}}\bigl(2^{5/2}\bigr)=\frac{5/2}{2}=\frac{5}{4}.
Explicando: \log_{a^{k}}(a^{m})=\dfrac{m}{k} porque (a^{k})^{m/k}=a^{m}. Assim obtemos y=\dfrac{5}{4}.

Passo 8

Agora somamos x e y:
x+y=4+\frac{5}{4}.
Colocando em denominador comum:
4=\frac{16}{4}\quad\Rightarrow\quad x+y=\frac{16}{4}+\frac{5}{4}=\frac{21}{4}.
Verificação rápida: (\sqrt[8]{2})^{4}=2^{4/8}=2^{1/2}=\sqrt{2} e 4^{5/4}=(2^{2})^{5/4}=2^{5/2}=4\sqrt{2}, então está consistente.

Resposta

\dfrac{21}{4}

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