Seja n=8^{2 \log _{2} 15-\log _{2} 45}, calcule o valor de n.

Passo 1

O enunciado dá a expressão
n = 8^{2 \log_{2} 15 - \log_{2} 45}
e pede para calcular o valor de n. As informações relevantes são: a base 8 e a combinação linear de logaritmos em base 2, 2\log_{2}15 - \log_{2}45. Nada mais é pedido além de simplificar e obter o valor numérico de n.

Passo 2

Vamos primeiro reescrever a base 8 como potência de 2, porque os logaritmos estão em base 2. Sabemos que
8 = 2^{3}.
Substituindo na definição de n obtemos
n = (2^{3})^{\,2 \log_{2}15 - \log_{2}45}.

Passo 3

Usamos a propriedade de potências (a^{b})^{c} = a^{bc}. Aplicando aqui,
n = 2^{\,3(2 \log_{2}15 - \log_{2}45)}.
Agora distribuímos o 3 no expoente:
n = 2^{\,6 \log_{2}15 - 3 \log_{2}45}.

Passo 4

Vou lembrar duas propriedades básicas de logaritmos que vamos usar:
  1. Multiplicador fora: k\log_{2}x = \log_{2}(x^{k}). Aqui k é um número real e x>0.
  2. Diferença: \log_{2}a - \log_{2}b = \log_{2}\!\left(\dfrac{a}{b}\right) (para a,b>0).
Aplicando a propriedade 1) aos termos do expoente,
6 \log_{2}15 = \log_{2}(15^{6}),\qquad 3 \log_{2}45 = \log_{2}(45^{3}).
Então o expoente fica
\log_{2}(15^{6}) - \log_{2}(45^{3}) = \log_{2}\!\left(\dfrac{15^{6}}{45^{3}}\right).

Passo 5

Substituindo no n, temos
n = 2^{\log_{2}\!\left(\dfrac{15^{6}}{45^{3}}\right)}.
Usamos agora a identidade inversa entre exponenciação e logaritmo: a^{\log_{a}X} = X para X>0. Aplicando com a=2 e X=\dfrac{15^{6}}{45^{3}},
n = \dfrac{15^{6}}{45^{3}}.

Passo 6

Vamos simplificar \dfrac{15^{6}}{45^{3}}. Note que 45 = 15\cdot 3, então
45^{3} = (15\cdot 3)^{3} = 15^{3}\cdot 3^{3}.
Assim
\dfrac{15^{6}}{45^{3}} = \dfrac{15^{6}}{15^{3}\cdot 3^{3}} = \dfrac{15^{3}}{3^{3}}.
Podemos reescrever \dfrac{15^{3}}{3^{3}} = \left(\dfrac{15}{3}\right)^{3} = 5^{3}.

Passo 7

Calculemos 5^{3}:
5^{3} = 125.
Portanto n = 125.

Resposta

125

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