Seja n=8^{2 \log _{2} 15-\log _{2} 45}, calcule o valor de n.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
n = 8^{2 \log_{2} 15 - \log_{2} 45}
e pede para calcular o valor de n. As informações relevantes são: a base 8 e a combinação linear de logaritmos em base 2, 2\log_{2}15 - \log_{2}45. Nada mais é pedido além de simplificar e obter o valor numérico de n.
Passo 2
Vamos primeiro reescrever a base 8 como potência de 2, porque os logaritmos estão em base 2. Sabemos que
8 = 2^{3}.
Substituindo na definição de n obtemos
n = (2^{3})^{\,2 \log_{2}15 - \log_{2}45}.
Passo 3
Usamos a propriedade de potências (a^{b})^{c} = a^{bc}. Aplicando aqui,
n = 2^{\,3(2 \log_{2}15 - \log_{2}45)}.
Agora distribuímos o 3 no expoente:
n = 2^{\,6 \log_{2}15 - 3 \log_{2}45}.
Passo 4
Vou lembrar duas propriedades básicas de logaritmos que vamos usar:
Multiplicador fora: k\log_{2}x = \log_{2}(x^{k}). Aqui k é um número real e x>0.