Na ausência de campo elétrico, uma gota de óleo carregada desce 5,00 mm em 20,0 s após atingir a velocidade terminal. A massa específica do ar é 1,35 kg / m^3 e a do óleo é 750 kg / m^3. A viscosidade do ar é 1,80 times 10^-5 N cdot s / m^2. Determine a massa e o raio da gota.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma gota de óleo carregada, sem campo elétrico, cai 5,00 mm em 20,0 s depois de atingir a velocidade terminal. A gente conhece a massa específica do ar (ρ_ar = 1,35 kg/m³), do óleo (ρ_oil = 750 kg/m³) e a viscosidade do ar (η = 1,80×10⁻⁵ N·s/m²). O conteúdo aqui é dinâmica de fluidos: equilíbrio entre peso, empuxo e força de arrasto (Lei de Stokes). Para resolver, vamos precisar da fórmula do arrasto de Stokes e da condição de equilíbrio de forças na velocidade terminal.

Passo 2

Primeiro, calcula a velocidade terminal vt. Como a gota cai 5,00 mm em 20,0 s:
vt = dt = 5,00times10^-3,m20,0,s = 2,50times10^-4,m/s
Isso é só pegar distância dividida por tempo, tranquilo.

Passo 3

Agora escreve as forças que atuam na gota:
  • Peso: P = mg = tfrac43pi r^3 rhorm oil,g.
  • Empuxo: E = tfrac43pi r^3 rhorm ar,g.
  • Arrasto de Stokes: Fd = 6pi eta r,vt.
    Na velocidade terminal rola equilíbrio:
P - E = Fd

Passo 4

Substituindo as expressões:
43pi r^3 (rhorm oil-rhorm ar),g = 6pi eta r,vt
A gente simplifica pi dos dois lados e cancela um r, fica:
43r^2(rhorm oil-rhorm ar)g = 6eta vt
ou
r^2 = 6eta vt times 34,g(rhorm oil-rhorm ar) = 9,eta,vt2,g,(rhorm oil-rhorm ar)
Então
r = raiz9,eta,vt2,g,(rhorm oil-rhorm ar)

Passo 5

Vamos colocar os números:
ρ_oil – ρ_ar = 750 – 1,35 = 748,65 kg/m³
Numerador: 9times1,80times10^-5times2,50times10^-4 = 4,05times10^-8.
Denominador: 2times9,8times748,65 = 1,4674times10^4.
Logo
r^2 = 4,05times10^-81,4674times10^4 = 2,76times10^-12,
e
r = raiz2,76times10^-12 = 1,66times10^-6,m

Passo 6

Agora a massa da gota:
m = 43pi r^3 rhorm oil
Como r^3 = (1,66times10^-6)^3 = 4,57times10^-18,m^3,
então
m = 43pi times4,57times10^-18times750 approx 1,44times10^-14,kg

Resposta

Raio: r approx 1,66times10^-6,m
Massa: m approx 1,44times10^-14,kg

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