O torque magnético pode ser calculado com o gradiente da energia magnética em relação aos ângulos de rotação.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que o torque magnético pode ser obtido como o gradiente (negativo) da energia magnética em relação aos ângulos de rotação.\n
Informações dadas (ou que vamos usar): \n
  • Existe um momento magnético fixo (dipolo) representado por \mathbf{m}.\n
  • Há um campo magnético uniforme \mathbf{B} (logo \mathbf{B} não muda quando a dipolo gira).\n
  • A energia potencial magnética do dipolo no campo é dada por \,U = -\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}\, (vamos usar isso explicitamente).\n
    O objetivo concreto: relacionar a variação de U por variações pequenas de orientação (ângulos) com o torque \boldsymbol{\tau}, e obter a fórmula \tau_i = -\partial U/\partial \theta_i (componentes do torque como derivadas da energia em relação aos ângulos de rotação).

Passo 2

Entendendo a energia \,U = -\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}\, e quando ela muda. \n
Explicação didática: \n
  • \mathbf{m} é um vetor que indica intensidade e direção do dipolo magnético; \mathbf{B} é o campo magnético. \n
  • O produto escalar \mathbf{m}\cdot\mathbf{B} mede quanto \mathbf{m} está alinhado com \mathbf{B}. Quando \mathbf{m} está alinhado com \mathbf{B}, o produto é máximo e a energia U é mínima (porque tem sinal negativo). \n
  • Quando giramos o dipolo, \mathbf{B} permanece fixo (campo uniforme) e a mudança de energia vem apenas da mudança de \mathbf{m}.\n
    Portanto, para uma pequena variação de orientação (rotação infinitesimal) \delta\boldsymbol{\theta}, a variação de energia é
\delta U = -\,\delta\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}.

Passo 3

Como a orientação do vetor muda sob uma rotação infinitesimal. \n
Conceito e fórmula: uma rotação infinitesimal por um vetor de ângulo \delta\boldsymbol{\theta} (direção do eixo e magnitude do ângulo pequeno) altera qualquer vetor \mathbf{v} segundo
\delta\mathbf{v} = \delta\boldsymbol{\theta}\times\mathbf{v}.
Explicação: \n
  • Pense numa rotação pequena: o novo vetor é o antigo mais um deslocamento perpendicular, proporcional ao ângulo pequeno. \n
  • O produto vetorial gera exatamente essa variação perpendicular com a orientação correta. \n
    Aplicando ao nosso dipolo:
\delta\mathbf{m} = \delta\boldsymbol{\theta}\times\mathbf{m}.

Passo 4

Substituindo a expressão de \delta\mathbf{m} em \delta U e usando identidade vetorial. \n
Começamos com
\delta U = -\,\delta\mathbf{m}\cdot\mathbf{B} = -\,(\delta\boldsymbol{\theta}\times\mathbf{m})\cdot\mathbf{B}.
Usamos a identidade escalar do produto vetorial:
(\delta\boldsymbol{\theta}\times\mathbf{m})\cdot\mathbf{B} = \delta\boldsymbol{\theta}\cdot(\mathbf{m}\times\mathbf{B}).
Portanto
\delta U = -\,\delta\boldsymbol{\theta}\cdot(\mathbf{m}\times\mathbf{B}).

Passo 5

Interpretação física e definição do torque a partir da variação de energia. \n
  • A expressão \delta U = -\,\delta\boldsymbol{\theta}\cdot(\mathbf{m}\times\mathbf{B}) tem a forma de trabalho virtual: a variação de energia causada por uma pequena rotação \delta\boldsymbol{\theta} é menos o produto escalar entre \delta\boldsymbol{\theta} e algum vetor. \n
  • Definimos o torque \boldsymbol{\tau} como o vetor que satisfaz
\delta U = -\,\delta\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{\tau}.
Comparando com o resultado do passo anterior, obtemos
\boldsymbol{\tau} = \mathbf{m}\times\mathbf{B}.
Isso já é a fórmula usual do torque magnético (direção e sentido dados pelo produto vetorial).

Passo 6

Transformando a relação acima em derivadas em relação aos ângulos (gradiente). \n
Considere um conjunto de coordenadas angulares \{\theta_i\} que parametrizam a orientação do dipolo (por exemplo, os ângulos de Euler ou um par \varphi,\vartheta). Para uma variação infinitesimal geral,
\delta U = \sum_i \frac{\partial U}{\partial \theta_i}\,\delta\theta_i.
Mas do passo anterior temos
\delta U = -\sum_i \tau_i\,\delta\theta_i.
Igualando os dois desenvolvimentos para todo vetor \delta\boldsymbol{\theta} (portanto para todo conjunto \{\delta\theta_i\}), obtemos componente a componente
\tau_i = -\,\frac{\partial U}{\partial \theta_i},\qquad\text{para todo }i.
Ou seja, cada componente do torque corresponde à derivada negativa da energia em relação ao ângulo de rotação correspondente — isto é exatamente a afirmação de que o torque é o gradiente negativo da energia nas coordenadas angulares.

Passo 7

Exemplo concreto (caso de um único ângulo) — fixando a intuição. \n
Se \varphi é o ângulo entre \mathbf{m} e \mathbf{B}, então
U(\varphi) = -\,mB\cos\varphi,
onde m = \lVert \mathbf{m}\rVert e B = \lVert \mathbf{B}\rVert. A derivada em relação a \varphi
-\frac{dU}{d\varphi} = -\frac{d}{d\varphi}(-mB\cos\varphi) = mB\sin\varphi.
Esse valor é exatamente a magnitude do torque \lVert \mathbf{m}\times\mathbf{B}\rVert = mB\sin\varphi, conforme a fórmula vetorial. \n
Isso confirma na prática que \tau = -dU/d\varphi no caso unidimensional de rotação por um único ângulo.

Resposta

\boldsymbol{\tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B}\n
\displaystyle \tau_i = -\,\frac{\partial U}{\partial \theta_i}, com U=-\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}

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