O torque magnético pode ser calculado com o gradiente da energia magnética em relação aos ângulos de rotação.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que o torque magnético pode ser obtido como o gradiente (negativo) da energia magnética em relação aos ângulos de rotação.\n
Informações dadas (ou que vamos usar): \n
Informações dadas (ou que vamos usar): \n
- Existe um momento magnético fixo (dipolo) representado por
.\n - Há um campo magnético uniforme
(logo não muda quando a dipolo gira).\n - A energia potencial magnética do dipolo no campo é dada por
(vamos usar isso explicitamente).\n
O objetivo concreto: relacionar a variação depor variações pequenas de orientação (ângulos) com o torque , e obter a fórmula (componentes do torque como derivadas da energia em relação aos ângulos de rotação).
Passo 2
Entendendo a energia
e quando ela muda. \n
Explicação didática: \n
Explicação didática: \n
-
é um vetor que indica intensidade e direção do dipolo magnético; é o campo magnético. \n - O produto escalar
mede quanto está alinhado com . Quando está alinhado com , o produto é máximo e a energia é mínima (porque tem sinal negativo). \n - Quando giramos o dipolo,
permanece fixo (campo uniforme) e a mudança de energia vem apenas da mudança de .\n
Portanto, para uma pequena variação de orientação (rotação infinitesimal), a variação de energia é
Passo 3
Como a orientação do vetor muda sob uma rotação infinitesimal. \n
Conceito e fórmula: uma rotação infinitesimal por um vetor de ângulo (direção do eixo e magnitude do ângulo pequeno) altera qualquer vetor
segundo
Conceito e fórmula: uma rotação infinitesimal por um vetor de ângulo
Explicação: \n
- Pense numa rotação pequena: o novo vetor é o antigo mais um deslocamento perpendicular, proporcional ao ângulo pequeno. \n
- O produto vetorial gera exatamente essa variação perpendicular com a orientação correta. \n
Aplicando ao nosso dipolo:
Passo 4
Substituindo a expressão de
em
e usando identidade vetorial. \n
Começamos com
Começamos com
Usamos a identidade escalar do produto vetorial:
Portanto
Passo 5
Interpretação física e definição do torque a partir da variação de energia. \n
- A expressão
tem a forma de trabalho virtual: a variação de energia causada por uma pequena rotação é menos o produto escalar entre e algum vetor. \n - Definimos o torque
como o vetor que satisfaz
Comparando com o resultado do passo anterior, obtemos
Isso já é a fórmula usual do torque magnético (direção e sentido dados pelo produto vetorial).
Passo 6
Transformando a relação acima em derivadas em relação aos ângulos (gradiente). \n
Considere um conjunto de coordenadas angulares que parametrizam a orientação do dipolo (por exemplo, os ângulos de Euler ou um par
). Para uma variação infinitesimal geral,
Considere um conjunto de coordenadas angulares
Mas do passo anterior temos
Igualando os dois desenvolvimentos para todo vetor
(portanto para todo conjunto
), obtemos componente a componente
Ou seja, cada componente do torque corresponde à derivada negativa da energia em relação ao ângulo de rotação correspondente — isto é exatamente a afirmação de que o torque é o gradiente negativo da energia nas coordenadas angulares.
Passo 7
Exemplo concreto (caso de um único ângulo) — fixando a intuição. \n
Se é o ângulo entre
e
, então
Se
onde
e
. A derivada em relação a
dá
Esse valor é exatamente a magnitude do torque
, conforme a fórmula vetorial. \n
Isso confirma na prática que no caso unidimensional de rotação por um único ângulo.
Isso confirma na prática que