Para o elétron em três situações: na caixa de potencial infinito (potencial nulo), em um pontencial tipo mola (restaurador) e num potencial coulombiano ( 1 / r^{2} ). Como se comporta a diferença de energia entre estados sucessivos com o aumento do nível eletrônico.
2 pontos

O comentário para a turma

Sua resposta
Atribuida
\bigcirc a) aumenta, diminui e constante
\bigcirc b) diminuir, aumentar e constante
\bigcirc c) aumenta, constante e diminui
\bigcirc d) constante aumenta e diminui
\bigcirc e) diminuir, constante e aumenta

Passo 1

O que o enunciado pede: para cada um dos três potenciais — (1) caixa de potencial infinito (potencial nulo dentro), (2) potencial tipo mola (restaurador harmônico) e (3) potencial coulombiano — dizer como se comporta, quando o nível quântico n aumenta, a diferença de energia entre níveis sucessivos, isto é, \Delta E_n = E_{n+1}-E_n.
Informações dadas / suposições: o enunciado escreveu “potencial coulombiano ( 1/r^{2})”. Aqui quero deixar claro que o potencial coulombiano usual para um elétron em átomo é proporcional a 1/r (a força é \propto 1/r^{2}). Vou assumir que a questão se refere ao potencial coulombiano clássico do átomo de hidrogênio, isto é, V(r)\propto -1/r. Não vou perguntar nada, apenas explico essa suposição porque muda as fórmulas.

Passo 2

Caixa de potencial infinito (poço unidimensional com comprimento L, potencial nulo dentro e infinito nas paredes).
Fórmula dos níveis de energia: E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\; n^2,
onde \hbar é a constante de Planck reduzida, m a massa da partícula (aqui o elétron) e n=1,2,3,\dots.
Cálculo da diferença entre níveis sucessivos:
\Delta E_n = E_{n+1}-E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\big[(n+1)^2-n^2\big].
Desenvolvendo o quadrado:
(n+1)^2-n^2 = 2n+1,
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\Delta E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,(2n+1).
Interpretação: \Delta E_n é proporcional a 2n+1, que cresce com n. Portanto, ao aumentar n, a diferença entre níveis sucessivos aumenta.
Exemplo numérico simples (só pra intuir): se n vai de 1 para 2, \Delta E_1\propto 3; se vai de 10 para 11, \Delta E_{10}\propto 21 — claramente maior.

Passo 3

Oscilador harmônico quântico (potencial restaurador, “mola”).
Fórmula dos níveis de energia: E_n = \hbar\omega\left(n+\tfrac{1}{2}\right),
onde \omega é a frequência angular do oscilador e n=0,1,2,\dots.
Diferença entre níveis sucessivos:
\Delta E_n = E_{n+1}-E_n = \hbar\omega\big[(n+1+\tfrac{1}{2})-(n+\tfrac{1}{2})\big] = \hbar\omega.
Interpretação: \Delta E_n é exatamente constante e igual a \hbar\omega, independente de n. Portanto, ao aumentar n, a diferença entre níveis sucessivos permanece constante.

Passo 4

Potencial coulombiano (átomo de hidrogênio, V(r)\propto -1/r).
Fórmula dos níveis de energia para o elétron ligado (modelo de Bohr/Hidrogênio): E_n = -\frac{R}{n^2},
onde R é a constante de Rydberg em unidades de energia (por exemplo R\approx 13{,}6\\ \text{eV}), e n=1,2,3,\dots. Aqui E_n é negativo e tende a 0^{-} quando n\to\infty.
Diferença entre níveis sucessivos:
\Delta E_n = E_{n+1}-E_n = -R\left(\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{n^2}\right).
Colocando em comum denominador ou manipulando:
\Delta E_n = -R\left(\frac{n^2-(n+1)^2}{n^2(n+1)^2}\right) = -R\left(\frac{-2n-1}{n^2(n+1)^2}\right) = R\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}.
Comportamento para n grande: para grandes n a expressão se comporta como uma constante vezes 1/n^3 (porque (2n+1)/(n^2(n+1)^2)\sim 2n/n^4 \sim 2/n^3). Então \Delta E_n\to 0 quando n\to\infty; isto é, as separações entre níveis diminuem com n.
Interpretação física: níveis de energia ficam cada vez mais próximos (acumulam-se perto de E=0) conforme n aumenta.

Passo 5

Resumo dos três resultados (com a intuição):
  • Caixa infinita: \Delta E_n\propto 2n+1 → cresce com n. (diferenças aumentam)
  • Oscilador harmônico: \Delta E_n=\hbar\omega → constante com n. (diferenças constantes)
  • Potencial coulombiano ( V\propto -1/r): \Delta E_n\sim const \times 1/n^3 → decresce com n. (diferenças diminuem)
Portanto a sequência do comportamento pedido é: aumenta, constante, diminui.

Resposta

c) aumenta, constante e diminui

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