Para o elétron em três situações: na caixa de potencial infinito (potencial nulo), em um pontencial tipo mola (restaurador) e num potencial coulombiano (
). Como se comporta a diferença de energia entre estados sucessivos com o aumento do nível eletrônico.
2 pontos
O comentário para a turma
Sua resposta
Atribuida
a) aumenta, diminui e constante
b) diminuir, aumentar e constante
c) aumenta, constante e diminui
d) constante aumenta e diminui
e) diminuir, constante e aumenta
Atribuida
Passo 1
O que o enunciado pede: para cada um dos três potenciais — (1) caixa de potencial infinito (potencial nulo dentro), (2) potencial tipo mola (restaurador harmônico) e (3) potencial coulombiano — dizer como se comporta, quando o nível quântico
aumenta, a diferença de energia entre níveis sucessivos, isto é,
.
Informações dadas / suposições: o enunciado escreveu “potencial coulombiano (
)”. Aqui quero deixar claro que o potencial coulombiano usual para um elétron em átomo é proporcional a
(a força é
). Vou assumir que a questão se refere ao potencial coulombiano clássico do átomo de hidrogênio, isto é,
. Não vou perguntar nada, apenas explico essa suposição porque muda as fórmulas.
Passo 2
Caixa de potencial infinito (poço unidimensional com comprimento
, potencial nulo dentro e infinito nas paredes).
Fórmula dos níveis de energia:
onde
é a constante de Planck reduzida,
a massa da partícula (aqui o elétron) e
.
Cálculo da diferença entre níveis sucessivos:
Desenvolvendo o quadrado:
logo
Interpretação:
é proporcional a
, que cresce com
. Portanto, ao aumentar
, a diferença entre níveis sucessivos aumenta.
Exemplo numérico simples (só pra intuir): se
vai de
para
,
; se vai de
para
,
— claramente maior.
Passo 3
Oscilador harmônico quântico (potencial restaurador, “mola”).
Fórmula dos níveis de energia:
onde
é a frequência angular do oscilador e
.
Diferença entre níveis sucessivos:
Interpretação:
é exatamente constante e igual a
, independente de
. Portanto, ao aumentar
, a diferença entre níveis sucessivos permanece constante.
Passo 4
Potencial coulombiano (átomo de hidrogênio,
).
Fórmula dos níveis de energia para o elétron ligado (modelo de Bohr/Hidrogênio):
onde
é a constante de Rydberg em unidades de energia (por exemplo
), e
. Aqui
é negativo e tende a
quando
.
Diferença entre níveis sucessivos:
Colocando em comum denominador ou manipulando:
Comportamento para
grande: para grandes
a expressão se comporta como uma constante vezes
(porque
). Então
quando
; isto é, as separações entre níveis diminuem com
.
Interpretação física: níveis de energia ficam cada vez mais próximos (acumulam-se perto de
) conforme
aumenta.
Passo 5
Resumo dos três resultados (com a intuição):
- Caixa infinita:
→ cresce com . (diferenças aumentam) - Oscilador harmônico:
→ constante com . (diferenças constantes) - Potencial coulombiano (
): const → decresce com . (diferenças diminuem)
Portanto a sequência do comportamento pedido é: aumenta, constante, diminui.
Resposta
c) aumenta, constante e diminui