A autofunção do estado fundamental de uma partícula de massa m é dada por \psi(x)= \exp \left(-a^{2} x^{4} / 4\right), com autovalor de energia \hbar \alpha^{2} / m. Qual é o potencial em que a partícula se move? Agora escreva a função de onda para o estado fundamental [\Psi(x, t)].

Passo 1

O enunciado nos dá a autofunção do estado fundamental
\psi(x)=\exp\bigl(-a^{2}x^{4}/4\bigr)
de uma partícula de massa m, com autovalor de energia
E=\hbar\,\frac{a^{2}}{m}.
Pede-se o potencial V(x) que torna \psi(x) solução do problema estacionário e, em seguida, a forma da função de onda dependente do tempo \Psi(x,t).

Passo 2

Para encontrar V(x) usamos a equação de Schr"odinger independente do tempo em 1D:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\psi''(x)+V(x)\,\psi(x)=E\,\psi(x).
Isolando V(x), obtemos
V(x)=E+\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{\psi''(x)}{\psi(x)}.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada de \psi(x):
\psi'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl[e^{-a^{2}x^{4}/4}\Bigr] =-a^{2}x^{3}\,e^{-a^{2}x^{4}/4} =-a^{2}x^{3}\,\psi(x).

Passo 4

Agora a segunda derivada:
\psi''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[-a^{2}x^{3}\psi(x)\bigr] =-3a^{2}x^{2}\,\psi(x)+(-a^{2}x^{3})(-a^{2}x^{3})\,\psi(x) =\bigl(a^{4}x^{6}-3a^{2}x^{2}\bigr)\,\psi(x).
Logo
\frac{\psi''(x)}{\psi(x)}=a^{4}x^{6}-3a^{2}x^{2}.

Passo 5

Substituindo em
V(x)=E+\frac{\hbar^{2}}{2m}\bigl(a^{4}x^{6}-3a^{2}x^{2}\bigr),
e lembrando que E=\hbar\,a^{2}/m, temos
V(x) =\hbar\,\frac{a^{2}}{m} +\frac{\hbar^{2}}{2m}\,a^{4}x^{6} -\frac{3\hbar^{2}}{2m}\,a^{2}x^{2}.

Passo 6

Podemos reorganizar para uma forma mais compacta:
V(x) =\frac{\hbar^{2}a^{2}}{2m}\bigl(a^{2}x^{6}-3x^{2}+2\bigr).

Passo 7

Finalmente, a função de onda dependente do tempo para o estado fundamental é
\Psi(x,t) =\psi(x)\,\exp\!\bigl(-iEt/\hbar\bigr) =\exp\!\Bigl(-\frac{a^{2}x^{4}}{4}\Bigr)\, \exp\!\Bigl(-i\,\frac{\hbar\,a^{2}}{m}\,\frac{t}{\hbar}\Bigr) =\exp\!\Bigl(-\frac{a^{2}x^{4}}{4}-i\,\frac{a^{2}t}{m}\Bigr),
até constante de normalização.

Resposta

O potencial é
V(x)=\frac{\hbar^{2}a^{2}}{2m}\bigl(a^{2}x^{6}-3x^{2}+2\bigr)
e a função de onda no estado fundamental é
\Psi(x,t) =\exp\!\Bigl(-\frac{a^{2}x^{4}}{4}-i\,\frac{a^{2}}{m}\,t\Bigr).

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