A partir da equação de Schrödinger, obtenha os operadores de energia total, ou Hamiltoniana
, assim como também os operadores de energia cinética
e de momento linear
.
Passo 1
O enunciado pede para, a partir da equação de Schr"odinger, obter os operadores de momento linear
, de energia cinética
e o Hamiltoniano (energia total)
. Vamos usar a forma dependente do tempo da equação de Schr"odinger e as definições canônicas de operadores em mecânica qu^antica.
Passo 2
A equação de Schr"odinger dependente do tempo para uma partícula de massa
em um potencial
é
Dessa forma, o lado direito define o operador de energia total
.
Passo 3
Em mecânica quântica, a energia total se decompõe em energia cinética mais potencial:
onde o operador de potencial
age simplesmente por multiplicação:
Passo 4
Para obter
precisamos do operador momento linear canônico. Por definição,
Esse operador gera as derivadas espaciais correspondentes ao momento da partícula.
Passo 5
A energia cinética quântica é dada por
. Substituindo
obtemos
Passo 6
Somando os termos cinético e de potencial chegamos ao Hamiltoniano completo: