A partir da equação de Schrödinger, obtenha os operadores de energia total, ou Hamiltoniana (\widehat{H}), assim como também os operadores de energia cinética (\widehat{T}) e de momento linear (\widehat{p}).

Passo 1

O enunciado pede para, a partir da equação de Schr"odinger, obter os operadores de momento linear \widehat{p}, de energia cinética \widehat{T} e o Hamiltoniano (energia total) \widehat{H}. Vamos usar a forma dependente do tempo da equação de Schr"odinger e as definições canônicas de operadores em mecânica qu^antica.

Passo 2

A equação de Schr"odinger dependente do tempo para uma partícula de massa m em um potencial V(\mathbf{r}) é
i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\,\Psi(\mathbf{r},t) = \widehat{H}\,\Psi(\mathbf{r},t).
Dessa forma, o lado direito define o operador de energia total \widehat{H}.

Passo 3

Em mecânica quântica, a energia total se decompõe em energia cinética mais potencial:
\widehat H = \widehat T + \widehat V,
onde o operador de potencial \widehat V age simplesmente por multiplicação:
\widehat V = V(\mathbf r).

Passo 4

Para obter \widehat T precisamos do operador momento linear canônico. Por definição,
\widehat{\mathbf p} = -\,i\hbar\,\nabla.
Esse operador gera as derivadas espaciais correspondentes ao momento da partícula.

Passo 5

A energia cinética quântica é dada por \widehat T = \widehat p^2/(2m). Substituindo \widehat{\mathbf p} obtemos
\widehat T = \frac{\widehat{\mathbf p}^2}{2m} = -\,\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2.

Passo 6

Somando os termos cinético e de potencial chegamos ao Hamiltoniano completo:
\widehat H = -\,\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2 \;+\; V(\mathbf r).

Resposta

\widehat{\mathbf p} = -\,i\hbar\,\nabla \widehat T = -\,\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2 \widehat H = -\,\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2 + V(\mathbf r)

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