Questão 1:

Responda as seguintes perguntas:
a) É possível que uma única força externa aplicada sobre um corpo extenso mude seu movimento translacional e rotacional?
b) Explique as principais diferenças, em termos de esforço para modificar o movimento, entre uma bicicleta com rodas aro 26^{\prime} e outra bicicleta com rodas aro 29^{\prime} ( 26^{\prime} e 29^{\prime} refere-se ao comprimento do diâmetro das rodas medidos em polegadas, sendo que 1^{\prime}=2,54 \mathrm{~cm} ).
c) Em geral, um bom toca discos possui o “prato”, que sustenta e gira os discos, com massa uniformemente distribuída. Considere que um desses toca discos possui Momentum Angular L_{0}, mas você decide dobrar o Momentum Angular mantendo a mesma massa do prato do toca discos. Qual deverá ser o diâmetro desse novo prato do toca discos?
d) Uma partícula pontual viaja com velocidade \vec{v} constante em linha reta. Em um determinado instante essa partícula encontra-se no ponto mais próximo possível da Origem do sistema de coordenadas, cuja distância é l. Com relação a essa Origem deste sistema de coordenadas, essa partícula possui Momentum Angular nulo? Ao longo de sua trajetória linear, o Momentum Angular dessa partícula muda com o tempo, com relação, ainda, a essa Origem?
e) Um acrobata salta de um trampolim fazendo um determinado ângulo \theta com a horizontal. Ao longo da trajetória (após o salto) este acrobata realiza piruetas girando o corpo. Explique o que acontece com o movimento rotacional e translacional do acrobata se ele estica e encolhe os braços enquanto gira no ar.
f) Explique porquê um equilibrista precisa esticar os braços ou utilizar uma vara longa para não cair enquanto caminha numa corda bamba?
g) Explique porquê uma roda parada, sem rodar, cai, mas uma roda em movimento, girando, tende a não cair (mas cai quando sua velocidade diminui).

Passo 1

O enunciado reúne várias situações de dinâmica de corpo rígido: aplicação de força e torque, momento de inércia, momento angular e conservação de momento angular. Vamos usar os conceitos de
– resultante de força para translação ( F=ma),
– torque ( \tau = \vec r\times\vec F),
– momento de inércia de um disco uniforme ( I=\tfrac12\,m\,r^2),
– momento angular ( L=I\omega ou \vec L=\vec r\times\vec p),
– ausência de torque implica conservação de \vec L.

Passo 2

(a) Se você aplicar uma única força externa num ponto que não seja o centro de massa, haverá resultado sobre a translação e também sobre a rotação. A translação do centro de massa responde a
\sum \vec F = m\,\vec a_{\rm CM},
enquanto a rotação em torno do centro de massa responde a
\sum\tau_{\rm CM} = I\,\alpha,
onde o torque é \tau=\vec r\times\vec F. Logo, uma única força deslocada do centro de massa gera simultaneamente aceleração linear e aceleração angular.

Passo 3

(b) Rodas de bicicleta são aproximadamente discos de massa m_w e raio r. O momento de inércia é
I = \tfrac12\,m_w\,r^2.
Para rodas de aro 26' e 29', os raios medidos em centímetros são
r_{26} = 13'\times2,54 = 33{,}02\;\text{cm},\quad r_{29} = 14{,}5'\times2,54 = 36{,}83\;\text{cm}.
A razão dos momentos de inércia é
\frac{I_{29}}{I_{26}} = \Bigl(\frac{r_{29}}{r_{26}}\Bigr)^2 \approx \Bigl(\frac{36{,}83}{33{,}02}\Bigr)^2\approx1{,}24.
Isto significa que, para a mesma aceleração angular, a roda maior exige ≈24 % mais torque. Na prática, acelerar ou frear uma roda aro 29′ dá mais trabalho rotacional; em compensação, para uma dada velocidade linear, a roda maior gira mais lentamente (menor \omega) e sofre menos variação de energia rotacional por efeito de freio ou solo.

Passo 4

(c) Num prato (disco) uniforme de massa m e raio r, o momento angular é
L_0 = I\,\omega = \tfrac12\,m\,r^2\,\omega.
Para manter a mesma massa e a mesma \omega, mas dobrar L, precisamos de
L' = 2L_0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12\,m\,r'^2\,\omega = 2\Bigl(\tfrac12\,m\,r^2\,\omega\Bigr) \;\Longrightarrow\; r'^2 = 2\,r^2 \;\Longrightarrow\; r' = r\sqrt2.
Como o diâmetro é o dobro do raio, o novo diâmetro deve ser
D' = D\sqrt2.

Passo 5

(d) Para uma partícula pontual com velocidade constante \vec v ao longo de reta que passa a uma distância mínima l da origem, o momento angular em relação à origem é
\vec L = \vec r\times\vec p = m\,\vec r\times\vec v.
No ponto de aproximação mínima \vec r\perp\vec v, o módulo é
L = m\,l\,v,
não zero. Como não há forças com braço em relação à origem (torque nulo), \vec L permanece constante ao longo de toda a trajetória.

Passo 6

(e) Num salto, o centro de massa do acrobata segue uma parábola (movimento translacional sem influência interna). Ao mesmo tempo, o corpo gira com momento angular L=I\omega conservado (ausência de torque externo significativo). Quando ele estica os braços, aumenta I e, para conservar L, \omega diminui (gira mais devagar). Ao encolher os braços, I diminui e \omega aumenta (gira mais rápido). O movimento do centro de massa não muda.

Passo 7

(f) No equilibrista, estender os braços (ou usar vara longa) aumenta o momento de inércia I em torno do eixo de equilíbrio. Se surgir um pequeno desvio angular, a velocidade angular resultante será menor (pois \omega=\Delta L/I), dando mais tempo e facilidade para ele corrigir o desvio e manter o equilíbrio.

Passo 8

(g) Uma roda parada não tem momento angular, então qualquer torque de inclinação a faz tombar. Uma roda girando rápido tem momento angular \vec L grande; o torque de inclinação gera precessão em vez de tombamento imediato, mantendo-a ereta. Conforme a rotação diminui, \lvert L\rvert cai e o torque de inclinação passa a alterar significativamente a direção de \vec L, fazendo a roda cair.

Resposta

a) Sim. Uma força não aplicada no centro de massa produz aceleração linear do CM e, via torque \vec r\times\vec F, aceleração angular.
b) A roda aro 29′ tem ≈24 % mais momento de inércia que a aro 26′, exigindo mais torque para acelerar/frear; porém, para mesma velocidade linear, gira com \omega menor e é mais estável em rodagem.
c) Para dobrar L mantendo massa e \omega, o diâmetro deve crescer em \sqrt2: D'=D\sqrt2.
d) O momento angular é L=m\,l\,v, não nulo, e permanece constante (torque nulo).
e) Esticar braços aumenta I e reduz \omega; encolher reduz I e eleva \omega. A trajetória do CM continua a mesma.
f) Braços estendidos (ou vara longa) aumentam I, diminuindo \omega para qualquer perturbação e dando tempo de correção, o que ajuda a não cair.
g) Roda parada não tem \vec L, cai sob torque de peso; roda girando tem \vec L grande e sofre precessão em vez de tombar, até que a rotação abaixe e o torque consiga mudá-la.

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