Usando a equação de Schrödinger independente do tempo, encontrar o potencial V(x) e a energia E para a qual a função \psi(x)=\left(x / x_{o}\right)^{n} \exp \left(-x / x_{o}\right),
com n e x_{o} constantes, é uma autofunção. Assumir que V(x) vai para zero quando x vai para infinito. Agora escreva a função de onda para essa autofunção.

Passo 1

O enunciado pede para achar o potencial V(x) e a energia E tais que
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\psi''(x)+V(x)\,\psi(x)=E\,\psi(x)
seja satisfeito pela função
\psi(x)=\Bigl(\frac{x}{x_{o}}\Bigr)^{n}e^{-x/x_{o}},
com V(x)\to0 quando x\to\infty. Vamos usar a relação
V(x)=E+\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\psi''(x)}{\psi(x)}
e determinar E impondo a condição em x\to\infty.

Passo 2

Calcular \psi''(x)/\psi(x). Defina a=x_{o} e escreva
\psi(x)=C\,x^{n}e^{-x/a},\quad C=\frac{1}{a^{n}}.
Um cálculo direto dá
\frac{\psi''(x)}{\psi(x)} =\frac{n(n-1)-2n\,(x/a)+(x/a)^{2}}{x^{2}}.

Passo 3

Como x\to\infty, \psi''/\psi\to1/a^{2}. Então
V(x)\xrightarrow[x\to\infty]{}E+\frac{\hbar^2}{2m\,a^{2}}
deve ser zero. Logo
E=-\frac{\hbar^2}{2m\,a^{2}} =-\frac{\hbar^2}{2m\,x_{o}^{2}}.

Passo 4

Substituindo em
V(x)=E+\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\psi''}{\psi}
obtemos
V(x) =\frac{\hbar^2}{2m}\Bigl[\frac{n(n-1)-2n\,(x/a)+(x/a)^{2}}{x^{2}}\Bigr] -\frac{\hbar^2}{2m\,a^{2}} =\frac{\hbar^2}{2m}\Bigl(\frac{n(n-1)}{x^{2}}-\frac{2n}{a\,x}\Bigr).
Em termos de x_{o}:
\boxed{V(x) =\frac{\hbar^2}{2m}\Bigl(\frac{n(n-1)}{x^{2}}-\frac{2n}{x_{o}\,x}\Bigr), \quad E=-\frac{\hbar^2}{2m\,x_{o}^{2}}.}

Passo 5

Para fechar, normalizamos \psi. Seja
\psi(x)=N\Bigl(\frac{x}{x_{o}}\Bigr)^{n}e^{-x/x_{o}},
impondo \int_{0}^{\infty}|\psi|^{2}dx=1. Isso leva a
N=\sqrt{\frac{2^{2n+1}\,x_{o}^{\,2n-1}}{(2n)!}}.

Resposta

V(x) =\frac{\hbar^2}{2m}\Bigl(\frac{n(n-1)}{x^{2}}-\frac{2n}{x_{o}\,x}\Bigr), \quad E=-\frac{\hbar^2}{2m\,x_{o}^{2}},
\psi(x) =\sqrt{\frac{2^{2n+1}\,x_{o}^{\,2n-1}}{(2n)!}}\, \Bigl(\frac{x}{x_{o}}\Bigr)^{n}e^{-x/x_{o}}.

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