Uma autofunção em um poço de potencial quadrado penetra em uma região classicamente proibida. O comprimento de penetração d é definido como sendo a distância onde a densidade de probabilidade decai de um fator 1/e. Deduza a formula de
e calcule seu valor para um elétron quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma autofunção num poço de potencial quadrado, onde a função de onda penetra numa região que, segundo a física clássica, seria proibida para a partícula. O foco aqui é encontrar o comprimento de penetração $ d $, que é a distância onde a densidade de probabilidade diminui em um fator de $ \frac{1}{e} $. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especialmente a equação de Schrödinger para potenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa ter uma região “classicamente proibida”. Isso acontece quando a energia da partícula $ E $ é menor que a energia do potencial $ V_0 $ ($ V_0 > E $). Na mecânica quântica, mesmo nessa situação, a função de onda da partícula não é exatamente zero na região proibida, mas decai exponencialmente. Vamos usar a equação de Schrödinger para uma partícula em uma região onde $ V(x) = V_0 $.
Passo 3
A equação de Schrödinger independente do tempo para essa situação é:
Rearranjando, temos:
Essa equação diferencial sugere uma solução exponencial, já que estamos em uma região proibida.
Passo 4
A solução geral para $ \psi(x) $ nessa região é:
Onde $ k $ é dado por:
Aqui, $ \psi_0 $ é a amplitude da função de onda na fronteira do poço de potencial.
Passo 5
A densidade de probabilidade $ |\psi(x)|^2 $ é:
O comprimento de penetração $ d $ é definido como a distância onde essa densidade de probabilidade decai para $ \frac{1}{e} $ do valor inicial. Então, queremos encontrar $ d $ tal que:
Substituindo na equação:
Cancelando $ |\psi_0|^2 $ dos dois lados:
Passo 6
Resolvendo para $ d $:
Substituindo $ k $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular $ d $ para um elétron quando $ V_0 - E = 3 , eV $.
Primeiro, vamos converter 3 eV para joules:
Os valores das constantes são:
- $ \hbar = 1,0545718 \times 10^{-34} , J \cdot s $
- Massa do elétron $ m = 9,109 \times 10^{-31} , kg $
Substituindo na fórmula:
Calculando o denominador:
Então:
Resposta
O comprimento de penetração $ d $ para o elétron é aproximadamente $ 1,78 \times 10^{-11} $ metros.