Uma autofunção em um poço de potencial quadrado penetra em uma região classicamente proibida. O comprimento de penetração d é definido como sendo a distância onde a densidade de probabilidade decai de um fator 1/e. Deduza a formula de d e calcule seu valor para um elétron quando V0-E=3 eV.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma autofunção num poço de potencial quadrado, onde a função de onda penetra numa região que, segundo a física clássica, seria proibida para a partícula. O foco aqui é encontrar o comprimento de penetração $ d $, que é a distância onde a densidade de probabilidade diminui em um fator de $ \frac{1}{e} $. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especialmente a equação de Schrödinger para potenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa ter uma região “classicamente proibida”. Isso acontece quando a energia da partícula $ E $ é menor que a energia do potencial $ V_0 $ ($ V_0 > E $). Na mecânica quântica, mesmo nessa situação, a função de onda da partícula não é exatamente zero na região proibida, mas decai exponencialmente. Vamos usar a equação de Schrödinger para uma partícula em uma região onde $ V(x) = V_0 $.

Passo 3

A equação de Schrödinger independente do tempo para essa situação é:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 + V0 psi(x) = E psi(x)
Rearranjando, temos:
d^2 psi(x)dx^2 = 2m(V0 - E)hbar^2 psi(x)
Essa equação diferencial sugere uma solução exponencial, já que estamos em uma região proibida.

Passo 4

A solução geral para $ \psi(x) $ nessa região é:
psi(x)
Onde $ k $ é dado por:
psi(x) = psi0 e^-kx
Aqui, $ \psi_0 $ é a amplitude da função de onda na fronteira do poço de potencial.

Passo 5

A densidade de probabilidade $ |\psi(x)|^2 $ é:
|psi(x)|^2
O comprimento de penetração $ d $ é definido como a distância onde essa densidade de probabilidade decai para $ \frac{1}{e} $ do valor inicial. Então, queremos encontrar $ d $ tal que:
|psi(x)|^2 = |psi0|^2 e^-2kx
Substituindo na equação:
d
Cancelando $ |\psi_0|^2 $ dos dois lados:
1e

Passo 6

Resolvendo para $ d $:
d
Substituindo $ k $:
-2kd = -1 Rightarrow 2kd = 1 Rightarrow d = 12k
Simplificando:
k

Passo 7

Agora, vamos calcular $ d $ para um elétron quando $ V_0 - E = 3 , eV $.
Primeiro, vamos converter 3 eV para joules:
d
Os valores das constantes são:
  • $ \hbar = 1,0545718 \times 10^{-34} , J \cdot s $
  • Massa do elétron $ m = 9,109 \times 10^{-31} , kg $
Substituindo na fórmula:
V0 - E = 3 , eV
Calculando o denominador:
3 , eV = 3 times 1,602 times 10^-19 , J = 4,806 times 10^-19 , J
hbar = 1,0545718 times 10^-34 , J cdot s
Então:
m = 9,109 times 10^-31 , kg

Resposta

O comprimento de penetração $ d $ para o elétron é aproximadamente $ 1,78 \times 10^{-11} $ metros.

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