Uma partícula de 50 g desliza, com velocidade de
, em direção a um obstáculo de 1 cm de altura e 2 cm de comprimento. Adote o modelo de barreira de potencial retangular e estime a probabilidade de se encontrar a partícula do outro lado da barreira.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula de 50 gramas que está deslizando a uma velocidade de 20 cm/s em direção a uma barreira que tem 1 cm de altura e 2 cm de comprimento. O que precisamos entender aqui é o modelo de barreira de potencial retangular, que é usado para estimar a probabilidade de a partícula “atravessar” essa barreira mesmo se sua energia não for suficiente para isso de forma clássica. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de física quântica, como energia cinética, potencial de barreira e a fórmula de probabilidade de túnel.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia cinética da partícula. A energia cinética (E) é dada pela fórmula:
Onde:
- $ m $ é a massa da partícula
- $ v $ é a velocidade
Mas atenção: precisamos que as unidades estejam no Sistema Internacional (SI). Então, vamos converter:
- Massa: 50 g = 0,05 kg
- Velocidade: 20 cm/s = 0,2 m/s
Agora, substituindo na fórmula:
Então, a energia cinética da partícula é 0,001 Joules.
Passo 3
Agora, vamos comparar a energia cinética da partícula com a altura da barreira de potencial. A altura da barreira é de 1 cm, mas precisamos convertê-la para metros e depois para Joules.
Assumindo que a “altura” da barreira representa a energia potencial (V), precisamos de mais informações sobre o potencial para converter cm para Joules. No entanto, como estamos usando o modelo retangular, podemos considerar que a energia potencial $ V $ é maior que a energia cinética $ E $. Isso significa que, classicamente, a partícula não teria energia suficiente para ultrapassar a barreira.
Passo 4
Como a energia da partícula é menor que a altura da barreira, precisamos calcular a probabilidade de túnel usando a fórmula de transmissão para uma barreira retangular:
Onde:
- $ \gamma = \frac{\sqrt{2m(V - E)}}{\hbar} $
- $ L $ é a largura da barreira
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \hbar \approx 1,0545718 \times 10^{-34} , J·s $)
Primeiro, vamos considerar $ V - E \approx V $, já que $ V $ é muito maior que $ E $. Precisamos estimar $ V $. Sem um dado específico, vamos assumir uma altura de barreira representativa, por exemplo, $ V = 10^{-20} , J $ (esse valor é apenas ilustrativo).
Calculando $ \gamma $:
Agora, calculando $ T $:
Esse número no expoente é extremamente grande e negativo, o que significa que $ T $ é praticamente zero.
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula do outro lado da barreira é praticamente zero.